Álgebra Ejemplos

$8 x^{5} - 25 y^{3} + 80 x^{4} - x^{2} y^{3} + 200 x^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$8 x^{5} + 80 x^{4} + 200 x^{3} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 2

Factoriza $8 x^{3}$ de $8 x^{5} + 80 x^{4} + 200 x^{3}$ .

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Paso 2.1

Factoriza $8 x^{3}$ de $8 x^{5}$ .

$8 x^{3} (x^{2}) + 80 x^{4} + 200 x^{3} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 2.2

Factoriza $8 x^{3}$ de $80 x^{4}$ .

$8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (10 x) + 200 x^{3} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 2.3

Factoriza $8 x^{3}$ de $200 x^{3}$ .

$8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (10 x) + 8 x^{3} (25) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 2.4

Factoriza $8 x^{3}$ de $8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (10 x)$ .

$8 x^{3} (x^{2} + 10 x) + 8 x^{3} (25) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 2.5

Factoriza $8 x^{3}$ de $8 x^{3} (x^{2} + 10 x) + 8 x^{3} (25)$ .

$8 x^{3} (x^{2} + 10 x + 25) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 3

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$8 x^{3} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 3.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Paso 3.3

Reescribe el polinomio.

$8 x^{3} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 3.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 4

Factoriza $y^{3}$ de $- 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$ .

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Paso 4.1

Factoriza $y^{3}$ de $- 25 y^{3}$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 25 - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Paso 4.2

Factoriza $y^{3}$ de $- x^{2} y^{3}$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 25 + y^{3} (- x^{2}) - 10 x y^{3}$

Paso 4.3

Factoriza $y^{3}$ de $- 10 x y^{3}$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 25 + y^{3} (- x^{2}) + y^{3} (- 10 x)$

Paso 4.4

Factoriza $y^{3}$ de $y^{3} \cdot - 25 + y^{3} (- x^{2})$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot (- 25 - x^{2}) + y^{3} (- 10 x)$

Paso 4.5

Factoriza $y^{3}$ de $y^{3} \cdot (- 25 - x^{2}) + y^{3} (- 10 x)$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- 25 - x^{2} - 10 x)$

Paso 5

Factoriza.

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Paso 5.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.1.1

Reordena los términos.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} - 10 x - 25)$

Paso 5.1.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Paso 5.1.2.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 x$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} - 10 (x) - 25)$

Paso 5.1.2.2

Reescribe $- 10$ como $- 5$ más $- 5$

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} + (- 5 - 5) x - 25)$

Paso 5.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} - 5 x - 5 x - 25)$

Paso 5.1.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.1.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 5 x - 25)$

Paso 5.1.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (x (- x - 5) + 5 (- x - 5))$

Paso 5.1.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 5$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} ((- x - 5) (x + 5))$

Paso 5.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x - 5) (x + 5)$

Paso 6

Combina exponentes.

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Paso 6.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- (x) - 5) (x + 5)$

Paso 6.2

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- (x) - 1 (5)) (x + 5)$

Paso 6.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (5)$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- (x + 5)) (x + 5)$

Paso 6.4

Reescribe $- (x + 5)$ como $- 1 (x + 5)$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- 1 (x + 5)) (x + 5)$

Paso 6.5

Elimina los paréntesis.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 (x + 5) (x + 5)$

Paso 6.6

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 ({(x + 5)}^{1} (x + 5))$

Paso 6.7

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})$

Paso 6.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{1 + 1}$

Paso 6.9

Suma $1$ y $1$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$

Paso 7

Factoriza ${(x + 5)}^{2}$ de $8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$ .

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Paso 7.1

Factoriza ${(x + 5)}^{2}$ de $8 x^{3} {(x + 5)}^{2}$ .

${(x + 5)}^{2} (8 x^{3}) + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$

Paso 7.2

Factoriza ${(x + 5)}^{2}$ de $y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$ .

${(x + 5)}^{2} (8 x^{3}) + {(x + 5)}^{2} (y^{3} \cdot - 1)$

Paso 7.3

Factoriza ${(x + 5)}^{2}$ de ${(x + 5)}^{2} (8 x^{3}) + {(x + 5)}^{2} (y^{3} \cdot - 1)$ .

${(x + 5)}^{2} (8 x^{3} + y^{3} \cdot - 1)$

Paso 8

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

${(x + 5)}^{2} ({(2 x)}^{3} + y^{3} \cdot - 1)$

Paso 9

Reescribe $y^{3} \cdot - 1$ como ${(y \cdot - 1)}^{3}$ .

${(x + 5)}^{2} ({(2 x)}^{3} + {(y \cdot - 1)}^{3})$

Paso 10

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = 2 x$ y $b = y \cdot - 1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x + y \cdot - 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Simplifica.

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Paso 11.1.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - 1 y) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.2

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.3

Aplica la regla del producto a $2 x$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (2^{2} x^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.4

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - 2 x (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.6

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - 2 x (- 1 \cdot y) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - 2 \cdot - 1 x y + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.8

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Paso 11.1.9

Mueve $- 1$ a la izquierda de $y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(- 1 y)}^{2}))$

Paso 11.1.10

Reescribe $- 1 y$ como $- y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(- y)}^{2}))$

Paso 11.1.11

Aplica la regla del producto a $- y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(- 1)}^{2} y^{2}))$

Paso 11.1.12

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + 1 y^{2}))$

Paso 11.1.13

Multiplica $y^{2}$ por $1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

${(x + 5)}^{2} (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})$