Álgebra Ejemplos

$\cos (θ) + \sin (θ) \cdot \tan (θ) = 2$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Reescribe $\tan (θ)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (θ) + \frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Paso 1.1.2

Multiplica $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Paso 1.1.2.1

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Paso 1.1.2.2

Eleva $\sin (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Paso 1.1.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos (θ) + \frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos (θ)} = 2$

Paso 1.1.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = 2$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\cos (θ)$ .

$\cos (θ) (\cos (θ) + \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)}) = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 3

Aplica la propiedad distributiva.

$\cos (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 4

Multiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

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Paso 4.1

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 4.2

Eleva $\cos (θ)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 5

Cancela el factor común de $\cos (θ)$ .

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Paso 5.1

Cancela el factor común.

$\cos^{2} (θ) + \cos (θ) \frac{\sin^{2} (θ)}{\cos (θ)} = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 5.2

Reescribe la expresión.

$\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 6

Reorganiza los términos.

$\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ) = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 7

Aplica la identidad pitagórica.

$1 = \cos (θ) \cdot 2$

Paso 8

Mueve $2$ a la izquierda de $\cos (θ)$ .

$1 = 2 \cos (θ)$

Paso 9

Reescribe la ecuación como $2 \cos (θ) = 1$ .

$2 \cos (θ) = 1$

Paso 10

Divide cada término en $2 \cos (θ) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $2 \cos (θ) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 10.2.1.2

Divide $\cos (θ)$ por $1$ .

$\cos (θ) = \frac{1}{2}$

Paso 11

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior del coseno.

$θ = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 12

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$θ = \frac{π}{3}$

Paso 13

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 14

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 14.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 14.2

Combina fracciones.

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Paso 14.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 14.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 14.3

Simplifica el numerador.

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Paso 14.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 14.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{3}$

Paso 15

Obtén el período de $\cos (θ)$ .

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Paso 15.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 15.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 15.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 15.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 16

El período de la función $\cos (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$