Álgebra Ejemplos

$\frac{2 b}{2 b + 3} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{4 b^{2} - 9}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $4 b^{2}$ como ${(2 b)}^{2}$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{{(2 b)}^{2} - 9}$

Paso 1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{{(2 b)}^{2} - 3^{2}}$

Paso 1.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 b$ y $b = 3$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 2

Para escribir $\frac{2 b}{2 b + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 - 2 b}{3 - 2 b}$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} \cdot \frac{3 - 2 b}{3 - 2 b} + \frac{5}{3 - 2 b} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 3

Para escribir $\frac{5}{3 - 2 b}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 b + 3}{2 b + 3}$ .

$\frac{2 b}{2 b + 3} \cdot \frac{3 - 2 b}{3 - 2 b} + \frac{5}{3 - 2 b} \cdot \frac{2 b + 3}{2 b + 3} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 4

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 b + 3) (3 - 2 b)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 4.1

Multiplica $\frac{2 b}{2 b + 3}$ por $\frac{3 - 2 b}{3 - 2 b}$ .

$\frac{2 b (3 - 2 b)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} + \frac{5}{3 - 2 b} \cdot \frac{2 b + 3}{2 b + 3} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 4.2

Multiplica $\frac{5}{3 - 2 b}$ por $\frac{2 b + 3}{2 b + 3}$ .

$\frac{2 b (3 - 2 b)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} + \frac{5 (2 b + 3)}{(3 - 2 b) (2 b + 3)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 4.3

Reordena los factores de $(3 - 2 b) (2 b + 3)$ .

$\frac{2 b (3 - 2 b)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} + \frac{5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 b (3 - 2 b) + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 b \cdot 3 + 2 b (- 2 b) + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 b + 2 b (- 2 b) + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{6 b + 2 \cdot - 2 b \cdot b + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6.4

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.1

Mueve $b$ .

$\frac{6 b + 2 \cdot - 2 (b \cdot b) + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{6 b + 2 \cdot - 2 b^{2} + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6.4.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{6 b - 4 b^{2} + 5 (2 b + 3)}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{6 b - 4 b^{2} + 5 (2 b) + 5 \cdot 3}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6.6

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{6 b - 4 b^{2} + 10 b + 5 \cdot 3}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6.7

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{6 b - 4 b^{2} + 10 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 6.8

Suma $6 b$ y $10 b$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (2 b - 3)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $2 b$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b) - 3)}$

Paso 7.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b) - 1 (3))}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 2 b) - 1 (3)$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (3 - 2 b)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Paso 7.4

Reordena los términos.

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (- 2 b + 3)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Paso 8

Para escribir $\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (- 2 b + 3)}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (- 2 b + 3)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Paso 9

Escribe cada expresión con un denominador común de $(2 b + 3) (- 2 b + 3) \cdot - 1$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 9.1

Multiplica $\frac{- 4 b^{2} + 16 b + 15}{(2 b + 3) (- 2 b + 3)}$ por $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(- 4 b^{2} + 16 b + 15) \cdot - 1}{(2 b + 3) (- 2 b + 3) \cdot - 1} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Paso 9.2

Reordena los factores de $(2 b + 3) (- 2 b + 3) \cdot - 1$ .

$\frac{(- 4 b^{2} + 16 b + 15) \cdot - 1}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)} - \frac{4 b^{2} + 9}{(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))}$

Paso 9.3

Reordena los factores de $(2 b + 3) (- (- 2 b + 3))$ .

$\frac{(- 4 b^{2} + 16 b + 15) \cdot - 1}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)} - \frac{4 b^{2} + 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(- 4 b^{2} + 16 b + 15) \cdot - 1 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11

Simplifica el numerador.

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Paso 11.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 4 b^{2} \cdot - 1 + 16 b \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.2

Simplifica.

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Paso 11.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{4 b^{2} + 16 b \cdot - 1 + 15 \cdot - 1 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.2.2

Multiplica $- 1$ por $16$ .

$\frac{4 b^{2} - 16 b + 15 \cdot - 1 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.2.3

Multiplica $15$ por $- 1$ .

$\frac{4 b^{2} - 16 b - 15 - (4 b^{2} + 9)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 b^{2} - 16 b - 15 - (4 b^{2}) - 1 \cdot 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 b^{2} - 16 b - 15 - 4 b^{2} - 1 \cdot 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.5

Multiplica $- 1$ por $9$ .

$\frac{4 b^{2} - 16 b - 15 - 4 b^{2} - 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.6

Resta $4 b^{2}$ de $4 b^{2}$ .

$\frac{- 16 b - 15 + 0 - 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.7

Suma $- 16 b$ y $0$ .

$\frac{- 16 b - 15 - 9}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.8

Resta $9$ de $- 15$ .

$\frac{- 16 b - 24}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.9

Factoriza $8$ de $- 16 b - 24$ .

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Paso 11.9.1

Factoriza $8$ de $- 16 b$ .

$\frac{8 (- 2 b) - 24}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.9.2

Factoriza $8$ de $- 24$ .

$\frac{8 (- 2 b) + 8 (- 3)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 11.9.3

Factoriza $8$ de $8 (- 2 b) + 8 (- 3)$ .

$\frac{8 (- 2 b - 3)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 12

Simplifica los términos.

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Paso 12.1

Cancela el factor común de $- 2 b - 3$ y $2 b + 3$ .

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Paso 12.1.1

Factoriza $- 1$ de $- 2 b$ .

$\frac{8 (- (2 b) - 3)}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 12.1.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (2 b) - 1 (3))}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 12.1.3

Factoriza $- 1$ de $- (2 b) - 1 (3)$ .

$\frac{8 (- (2 b + 3))}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 12.1.4

Reescribe $- (2 b + 3)$ como $- 1 (2 b + 3)$ .

$\frac{8 (- 1 (2 b + 3))}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 12.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{8 (- 1 (2 b + 3))}{- (- 2 b + 3) (2 b + 3)}$

Paso 12.1.6

Reescribe la expresión.

$\frac{8 \cdot (- 1)}{- (- 2 b + 3)}$

Paso 12.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{8}{- 2 b + 3}$

Paso 12.3

Factoriza $- 1$ de $- 2 b$ .

$\frac{8}{- (2 b) + 3}$

Paso 12.4

Reescribe $3$ como $- 1 (- 3)$ .

$\frac{8}{- (2 b) - 1 (- 3)}$

Paso 12.5

Factoriza $- 1$ de $- (2 b) - 1 (- 3)$ .

$\frac{8}{- (2 b - 3)}$

Paso 12.6

Reescribe los negativos.

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Paso 12.6.1

Reescribe $- (2 b - 3)$ como $- 1 (2 b - 3)$ .

$\frac{8}{- 1 (2 b - 3)}$

Paso 12.6.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{8}{2 b - 3}$