Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{3 x - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 x}$

Paso 1

Resta $\frac{4}{3 - 2 x}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{1}{3 x - 7} - \frac{4}{3 - 2 x} \geq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{3 x - 7} - \frac{4}{3 - 2 x}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{1}{3 x - 7}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$\frac{1}{3 x - 7} \cdot \frac{3 - 2 x}{3 - 2 x} - \frac{4}{3 - 2 x} \geq 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{4}{3 - 2 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{1}{3 x - 7} \cdot \frac{3 - 2 x}{3 - 2 x} - \frac{4}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} \geq 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(3 x - 7) (3 - 2 x)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{1}{3 x - 7}$ por $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$\frac{3 - 2 x}{(3 x - 7) (3 - 2 x)} - \frac{4}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} \geq 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{4}{3 - 2 x}$ por $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{3 - 2 x}{(3 x - 7) (3 - 2 x)} - \frac{4 (3 x - 7)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(3 x - 7) (3 - 2 x)$ .

$\frac{3 - 2 x}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} - \frac{4 (3 x - 7)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 2 x - 4 (3 x - 7)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 - 2 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 7}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.5.2

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{3 - 2 x - 12 x - 4 \cdot - 7}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $- 4$ por $- 7$ .

$\frac{3 - 2 x - 12 x + 28}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.5.4

Suma $3$ y $28$ .

$\frac{- 2 x - 12 x + 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.5.5

Resta $12 x$ de $- 2 x$ .

$\frac{- 14 x + 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $- 14 x$ .

$\frac{- (14 x) + 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.7

Reescribe $31$ como $- 1 (- 31)$ .

$\frac{- (14 x) - 1 (- 31)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.8

Factoriza $- 1$ de $- (14 x) - 1 (- 31)$ .

$\frac{- (14 x - 31)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.9

Reescribe $- (14 x - 31)$ como $- 1 (14 x - 31)$ .

$\frac{- 1 (14 x - 31)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{14 x - 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$14 x - 31 = 0$

$3 - 2 x = 0$

$3 x - 7 = 0$

Paso 4

Suma $31$ a ambos lados de la ecuación.

$14 x = 31$

Paso 5

Divide cada término en $14 x = 31$ por $14$ y simplifica.

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Paso 5.1

Divide cada término en $14 x = 31$ por $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{31}{14}$

Paso 5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 x}{14} = \frac{31}{14}$

Paso 5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{31}{14}$

Paso 6

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 3$

Paso 7

Divide cada término en $- 2 x = - 3$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $- 2 x = - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Paso 7.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 8

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 7$

Paso 9

Divide cada término en $3 x = 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 9.1

Divide cada término en $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 9.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 9.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Paso 10

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{31}{14}$

$x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

Paso 11

Consolida las soluciones.

$x = \frac{31}{14}, \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Paso 12

Obtén el dominio de $- \frac{14 x - 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)}$ .

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Paso 12.1

Establece el denominador en $\frac{14 x - 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(3 - 2 x) (3 x - 7) = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x$

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Paso 12.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 - 2 x = 0$

$3 x - 7 = 0$

Paso 12.2.2

Establece $3 - 2 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.2.2.1

Establece $3 - 2 x$ igual a $0$ .

$3 - 2 x = 0$

Paso 12.2.2.2

Resuelve $3 - 2 x = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.2.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 3$

Paso 12.2.2.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 3$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 12.2.2.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 3$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Paso 12.2.2.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 12.2.2.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Paso 12.2.2.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Paso 12.2.2.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.2.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{3}{2}$

Paso 12.2.3

Establece $3 x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.2.3.1

Establece $3 x - 7$ igual a $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Paso 12.2.3.2

Resuelve $3 x - 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.3.2.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 7$

Paso 12.2.3.2.2

Divide cada término en $3 x = 7$ por $3$ y simplifica.

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Paso 12.2.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 7$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 12.2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 12.2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Paso 12.2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Paso 12.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 - 2 x) (3 x - 7) = 0$ verdadera.

$x = \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Paso 12.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Paso 13

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$

$\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Paso 14

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 14.1

Prueba un valor en el intervalo $x < \frac{3}{2}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < \frac{3}{2}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 14.1.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{3 (0) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 0}$

Paso 14.1.3

$- 0.\overline{142857}$ del lado izquierdo es menor que $1.\overline{3}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.2

Prueba un valor en el intervalo $\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.2.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 14.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{3 (2) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 2}$

Paso 14.2.3

$- 1$ del lado izquierdo es mayor que $- 4$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.3

Prueba un valor en el intervalo $\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.3.1

Elije un valor en el intervalo $\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.27$

Paso 14.3.2

Reemplaza $x$ con $2.27$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{3 (2.27) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 2.27}$

Paso 14.3.3

$- 5.26315789$ del lado izquierdo es menor que $- 2.\overline{597402}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 14.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{7}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 14.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{7}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 14.4.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\frac{1}{3 (5) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 5}$

Paso 14.4.3

$0.125$ del lado izquierdo es mayor que $- 0.\overline{571428}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 14.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < \frac{3}{2}$ Falso

$\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ Verdadero

$\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ Falso

$x > \frac{7}{3}$ Verdadero

$x < \frac{3}{2}$ Falso

$\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ Verdadero

$\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ Falso

$x > \frac{7}{3}$ Verdadero

Paso 15

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$\frac{3}{2} < x \leq \frac{31}{14}$ o $x > \frac{7}{3}$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$\frac{3}{2} < x \leq \frac{31}{14} or x > \frac{7}{3}$

Notación de intervalo:

$(\frac{3}{2}, \frac{31}{14}] \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Paso 17