Álgebra Ejemplos

$x^{6} - 1 = 0$

Paso 1

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} - 1 = 0$

Paso 2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} - 1^{3} = 0$

Paso 3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 1$ .

$(x^{2} - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(x^{2} - 1^{2}) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Paso 4.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2})}^{2} + x^{2} + 1^{2}) = 0$

Paso 5

Simplifica cada término.

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Paso 5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{2 \cdot 2} + x^{2} + 1^{2}) = 0$

Paso 5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1^{2}) = 0$

Paso 5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + x^{2} + 1) = 0$

Paso 6

Reescribe el término medio.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Paso 7

Reorganiza los términos.

$(x + 1) (x - 1) (x^{4} + 2 x^{2} \cdot 1 + 1 - x^{2}) = 0$

Paso 8

Factoriza los primeros tres términos por la regla del cuadrado perfecto.

$(x + 1) (x - 1) ({(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2}) = 0$

Paso 9

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2} + 1$ y $b = x$ .

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + 1 + x) (x^{2} + 1 - x)) = 0$

Paso 10

Factoriza.

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Paso 10.1

Simplifica.

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Paso 10.1.1

Reordena los términos.

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} + 1 - x)) = 0$

Paso 10.1.2

Reordena los términos.

$(x + 1) (x - 1) ((x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1)) = 0$

Paso 10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 1) (x - 1) (x^{2} + x + 1) (x^{2} - x + 1) = 0$