Álgebra Ejemplos

$\frac{- 4 x^{2} + 16 x - 16}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1

Factoriza $- 4 x^{2} + 16 x - 16$ .

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Paso 1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2} + 16 x - 16$ .

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Paso 1.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 16 x - 16}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.1.2

Factoriza $4$ de $16 x$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (4 x) - 16}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.1.3

Factoriza $4$ de $- 16$ .

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (- 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.1.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2}) + 4 (4 x)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 4 x) + 4 (- 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.1.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{2} + 4 x) + 4 (- 4)$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 4 x - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.2

Factoriza.

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Paso 1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 1.2.1.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 4 (x) - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.2.1.1.2

Reescribe $4$ como $2$ más $2$

$\frac{4 (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{4 ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{4 (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$\frac{4 ((- x + 2) (x - 2))}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{4 (- x + 2) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3

Combina exponentes.

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Paso 1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{4 (- (x) + 2) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (x) - 1 (- 2)) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{4 (- (x - 2)) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3.4

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{4 (- 1 (x - 2)) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3.5

Elimina los paréntesis.

$\frac{4 \cdot - 1 (x - 2) (x - 2)}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3.6

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} (x - 2))}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3.7

Eleva $x - 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1})}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \cdot - 1 {(x - 2)}^{1 + 1}}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 \cdot - 1 {(x - 2)}^{2}}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 1.3.10

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 x^{2} - 3 x - 6}$

Paso 2

Factoriza $3 x^{2} - 3 x - 6$ .

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Paso 2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 3 x - 6$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2}) - 3 x - 6}$

Paso 2.1.2

Factoriza $3$ de $- 3 x$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2}) + 3 (- x) - 6}$

Paso 2.1.3

Factoriza $3$ de $- 6$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 2)}$

Paso 2.1.4

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2} - x) + 3 (- 2)}$

Paso 2.1.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{2} - x) + 3 (- 2)$ .

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x^{2} - x - 2)}$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 ((x - 2) (x + 1))}$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$\frac{- 4 {(x - 2)}^{2}}{3 (x - 2) (x + 1)}$

Paso 3

Cancela el factor común de ${(x - 2)}^{2}$ y $x - 2$ .

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Paso 3.1

Factoriza $x - 2$ de $- 4 {(x - 2)}^{2}$ .

$\frac{(x - 2) (- 4 (x - 2))}{3 (x - 2) (x + 1)}$

Paso 3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.2.1

Factoriza $x - 2$ de $3 (x - 2) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 2) (- 4 (x - 2))}{(x - 2) (3 (x + 1))}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (- 4 (x - 2))}{(x - 2) (3 (x + 1))}$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{- 4 (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Paso 4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (x - 2)}{3 (x + 1)}$

Paso 5

Para obtener los huecos en la gráfica, mira los factores del denominador que se cancelaron.

$x - 2$

Paso 6

Para obtener las coordenadas de los huecos, establece cada factor que se canceló igual a $0$ , resuelve y vuelve a sustituir por $- \frac{4 (x - 2)}{3 (x + 1)}$ .

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Paso 6.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6.3

Sustituye $2$ por $x$ en $- \frac{4 (x - 2)}{3 (x + 1)}$ y simplifica.

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Paso 6.3.1

Sustituye $2$ por $x$ para obtener la coordenada $y$ del hueco.

$- \frac{4 (2 - 2)}{3 (2 + 1)}$

Paso 6.3.2

Simplifica.

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Paso 6.3.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$- \frac{4 \cdot 0}{3 (2 + 1)}$

Paso 6.3.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$- \frac{4 \cdot 0}{3 \cdot 3}$

Paso 6.3.2.3

Multiplica $4$ por $0$ .

$- \frac{0}{3 \cdot 3}$

Paso 6.3.2.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$- \frac{0}{9}$

Paso 6.3.2.5

Divide $0$ por $9$ .

$- 0$

Paso 6.3.2.6

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$0$

Paso 6.4

Los huecos en la gráfica son los puntos en los que cualquiera de los factores cancelados es igual a $0$ .

$(2, 0)$

Paso 7