Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} = \frac{1}{3}$

Paso 1

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 1.1

Resta $\frac{1}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{3} = 0$

Paso 1.2

Simplifica $\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{3}$ .

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Paso 1.2.1

Obtén el denominador común

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Paso 1.2.1.1

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{(x + 4) \cdot 3}{(x + 4) \cdot 3}$ .

$\frac{1}{x} \cdot \frac{(x + 4) \cdot 3}{(x + 4) \cdot 3} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{3} = 0$

Paso 1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{x}$ por $\frac{(x + 4) \cdot 3}{(x + 4) \cdot 3}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{x ((x + 4) \cdot 3)} + \frac{1}{x + 4} - \frac{1}{3} = 0$

Paso 1.2.1.3

Multiplica $\frac{1}{x + 4}$ por $\frac{x \cdot 3}{x \cdot 3}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{x ((x + 4) \cdot 3)} + \frac{1}{x + 4} \cdot \frac{x \cdot 3}{x \cdot 3} - \frac{1}{3} = 0$

Paso 1.2.1.4

Multiplica $\frac{1}{x + 4}$ por $\frac{x \cdot 3}{x \cdot 3}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{x ((x + 4) \cdot 3)} + \frac{x \cdot 3}{(x + 4) (x \cdot 3)} - \frac{1}{3} = 0$

Paso 1.2.1.5

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{x ((x + 4) \cdot 3)} + \frac{x \cdot 3}{(x + 4) (x \cdot 3)} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}) = 0$

Paso 1.2.1.6

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{x (x + 4)}{x (x + 4)}$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{x ((x + 4) \cdot 3)} + \frac{x \cdot 3}{(x + 4) (x \cdot 3)} - \frac{x (x + 4)}{3 (x (x + 4))} = 0$

Paso 1.2.1.7

Reordena los factores de $x ((x + 4) \cdot 3)$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{3 x (x + 4)} + \frac{x \cdot 3}{(x + 4) (x \cdot 3)} - \frac{x (x + 4)}{3 (x (x + 4))} = 0$

Paso 1.2.1.8

Reordena los factores de $(x + 4) (x \cdot 3)$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{3 x (x + 4)} + \frac{x \cdot 3}{3 x (x + 4)} - \frac{x (x + 4)}{3 (x (x + 4))} = 0$

Paso 1.2.1.9

Reordena los factores de $3 (x (x + 4))$ .

$\frac{(x + 4) \cdot 3}{3 x (x + 4)} + \frac{x \cdot 3}{3 x (x + 4)} - \frac{x (x + 4)}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(x + 4) \cdot 3 + x \cdot 3 - x (x + 4)}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x \cdot 3 + 4 \cdot 3 + x \cdot 3 - x (x + 4)}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.3.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 \cdot x + 4 \cdot 3 + x \cdot 3 - x (x + 4)}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.3.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{3 \cdot x + 12 + x \cdot 3 - x (x + 4)}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.3.4

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{3 x + 12 + 3 \cdot x - x (x + 4)}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.3.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x + 12 + 3 x - x \cdot x - x \cdot 4}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.3.6

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.3.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x + 12 + 3 x - (x \cdot x) - x \cdot 4}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.3.6.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x + 12 + 3 x - x^{2} - x \cdot 4}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.3.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{3 x + 12 + 3 x - x^{2} - 4 x}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.4

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$\frac{6 x + 12 - x^{2} - 4 x}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.5

Resta $4 x$ de $6 x$ .

$\frac{2 x + 12 - x^{2}}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.6

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 2 x + 12}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.7

Divide la fracción $\frac{- x^{2} + 2 x + 12}{3 x (x + 4)}$ en dos fracciones.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 x (x + 4)} + \frac{12}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.8

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.8.1

Factoriza $x$ de $- x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.2.8.1.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{3 x (x + 4)} + \frac{12}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.8.1.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{3 x (x + 4)} + \frac{12}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.8.1.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{3 x (x + 4)} + \frac{12}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.8.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.8.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (- x + 2)}{3 x (x + 4)} + \frac{12}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.8.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- x + 2}{3 (x + 4)} + \frac{12}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.8.3

Divide la fracción $\frac{- x + 2}{3 (x + 4)}$ en dos fracciones.

$\frac{- x}{3 (x + 4)} + \frac{2}{3 (x + 4)} + \frac{12}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.8.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{2}{3 (x + 4)} + \frac{12}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.8.5

Cancela el factor común de $12$ y $3$ .

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Paso 1.2.8.5.1

Factoriza $3$ de $12$ .

$- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{2}{3 (x + 4)} + \frac{3 \cdot 4}{3 x (x + 4)} = 0$

Paso 1.2.8.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.2.8.5.2.1

Factoriza $3$ de $3 x (x + 4)$ .

$- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{2}{3 (x + 4)} + \frac{3 \cdot 4}{3 (x (x + 4))} = 0$

Paso 1.2.8.5.2.2

Cancela el factor común.

$- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{2}{3 (x + 4)} + \frac{3 \cdot 4}{3 (x (x + 4))} = 0$

Paso 1.2.8.5.2.3

Reescribe la expresión.

$- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{2}{3 (x + 4)} + \frac{4}{x (x + 4)} = 0$

Paso 2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$3 (x + 4), 3 (x + 4), x (x + 4), 1$

Paso 2.2

Since $3 (x + 4), 3 (x + 4), x (x + 4), 1$ contains both numbers and variables, there are four steps to find the LCM. Find LCM for the numeric, variable, and compound variable parts. Then, multiply them all together.

Los pasos para obtener el MCM para $3 (x + 4), 3 (x + 4), x (x + 4), 1$ son los siguientes:

1. Busca el MCM para la parte numérica $3, 3, 1, 1$ .

2. Busca el MCM para la parte variable $x^{1}$ .

3. Busca el MCM para la parte de variable compuesta $x + 4, x + 4, x + 4$ .

4. Multiplica cada MCM junto.

Paso 2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

1. Indica los factores primos de cada número.

2. Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

Paso 2.4

Como $3$ no tiene factores además de $1$ y $3$ .

$3$ es un número primo

Paso 2.5

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 2.6

El MCM de $3, 3, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$3$

Paso 2.7

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x^{1} = x$

$x$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.8

El MCM de $x^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x$

Paso 2.9

El factor para $x + 4$ es $x + 4$ en sí mismo.

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ ocurre $1$ vez.

Paso 2.10

El MCM de $x + 4, x + 4, x + 4$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x + 4$

Paso 2.11

El mínimo común múltiplo $LCM$ de algunos números es el número más pequeño del que los números son factores.

$3 x (x + 4)$

Paso 3

Multiplica cada término en $- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{2}{3 (x + 4)} + \frac{4}{x (x + 4)} = 0$ por $3 x (x + 4)$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.1

Multiplica cada término en $- \frac{x}{3 (x + 4)} + \frac{2}{3 (x + 4)} + \frac{4}{x (x + 4)} = 0$ por $3 x (x + 4)$ .

$- \frac{x}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{2}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común de $3 (x + 4)$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{3 (x + 4)}$ al numerador.

$\frac{- x}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{2}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.1.2

Factoriza $3 (x + 4)$ de $3 x (x + 4)$ .

$\frac{- x}{3 (x + 4)} (3 (x + 4) (x)) + \frac{2}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{- x}{3 (x + 4)} (3 (x + 4) x) + \frac{2}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- x \cdot x + \frac{2}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.2

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (x^{1} x) + \frac{2}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.3

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$- (x^{1} x^{1}) + \frac{2}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- x^{1 + 1} + \frac{2}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$- x^{2} + \frac{2}{3 (x + 4)} (3 x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x^{2} + 3 \frac{2}{3 (x + 4)} (x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Cancela el factor común.

$- x^{2} + 3 \frac{2}{3 (x + 4)} (x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.7.2

Reescribe la expresión.

$- x^{2} + \frac{2}{x + 4} (x (x + 4)) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.8

Cancela el factor común de $x + 4$ .

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Paso 3.2.1.8.1

Factoriza $x + 4$ de $x (x + 4)$ .

$- x^{2} + \frac{2}{x + 4} ((x + 4) x) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.8.2

Cancela el factor común.

$- x^{2} + \frac{2}{x + 4} ((x + 4) x) + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.8.3

Reescribe la expresión.

$- x^{2} + 2 x + \frac{4}{x (x + 4)} (3 x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- x^{2} + 2 x + 3 \frac{4}{x (x + 4)} (x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.10

Multiplica $3 \frac{4}{x (x + 4)}$ .

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Paso 3.2.1.10.1

Combina $3$ y $\frac{4}{x (x + 4)}$ .

$- x^{2} + 2 x + \frac{3 \cdot 4}{x (x + 4)} (x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.10.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$- x^{2} + 2 x + \frac{12}{x (x + 4)} (x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.11

Cancela el factor común de $x (x + 4)$ .

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Paso 3.2.1.11.1

Cancela el factor común.

$- x^{2} + 2 x + \frac{12}{x (x + 4)} (x (x + 4)) = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.2.1.11.2

Reescribe la expresión.

$- x^{2} + 2 x + 12 = 0 (3 x (x + 4))$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- x^{2} + 2 x + 12 = 0 (3 x \cdot x + 3 x \cdot 4)$

Paso 3.3.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1

Mueve $x$ .

$- x^{2} + 2 x + 12 = 0 (3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 4)$

Paso 3.3.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- x^{2} + 2 x + 12 = 0 (3 x^{2} + 3 x \cdot 4)$

Paso 3.3.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$- x^{2} + 2 x + 12 = 0 (3 x^{2} + 12 x)$

Paso 3.3.4

Multiplica $0$ por $3 x^{2} + 12 x$ .

$- x^{2} + 2 x + 12 = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación.

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Paso 4.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2

Sustituye los valores $a = - 1$ , $b = 2$ y $c = 12$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 12)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot - 1 \cdot 12$ .

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Paso 4.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4 \cdot 12}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.1.2.2

Multiplica $4$ por $12$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.1.3

Suma $4$ y $48$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.1.4

Reescribe $52$ como $2^{2} \cdot 13$ .

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Paso 4.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $52$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 1}$

Paso 4.3.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 2}$

Paso 4.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{13}$

Paso 4.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + \sqrt{13}, 1 - \sqrt{13}$

$x = 1 \pm \sqrt{13}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = 1 \pm \sqrt{13}$

Forma decimal:

$x = 4.60555127 \dots, - 2.60555127 \dots$