Álgebra Ejemplos

$x = y^{2}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $y^{2} = x$ .

$y^{2} = x$

Paso 2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \pm \sqrt{x}$

Paso 3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \sqrt{x}$

Paso 3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \sqrt{x}$

Paso 3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

Paso 4

Intercambia las variables. Crea una ecuación para cada expresión.

$x = \sqrt{y}, x = - \sqrt{y}$

Paso 5

Resuelve $y$

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Paso 5.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{y} = x$ .

$\sqrt{y} = x$

Paso 5.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y}}^{2} = x^{2}$

Paso 5.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Paso 5.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y^{1} = x^{2}$

Paso 5.3.2.1.2

Simplifica.

$y = x^{2}$

Paso 6

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Paso 7

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

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Paso 7.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ y $f^{- 1} (x) = x^{2}$ y compáralos.

Paso 7.2

Obtén el rango de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

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Paso 7.2.1

Obtén el rango de $\sqrt{x}$ .

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Paso 7.2.1.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$[0, \infty)$

Paso 7.2.2

Obtén el rango de $- \sqrt{x}$ .

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Paso 7.2.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0]$

Paso 7.2.3

Obtén la unión de $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

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Paso 7.2.3.1

La unión consiste en todos los elementos contenidos en cada intervalo.

$(- \infty, \infty)$

Paso 7.3

Obtén el dominio de $\sqrt{x}$ .

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Paso 7.3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x \geq 0$

Paso 7.3.2

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$[0, \infty)$

Paso 7.4

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = x^{2}$ es el rango de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = x^{2}$ es el dominio de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2}$ es la inversa de $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Paso 8