Álgebra Ejemplos

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Paso 1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1^{\frac{2 - x}{x}}}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Paso 2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Paso 3

Mueve $4^{\frac{2 - x}{x}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Paso 4

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 4^{3 \cdot 2}$

Paso 5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$- \frac{2 - x}{x} > 3 \cdot 2$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{2 - x}{x} > 6$

Paso 6.2

Resta $6$ de ambos lados de la desigualdad.

$- \frac{2 - x}{x} - 6 > 0$

Paso 6.3

Simplifica $- \frac{2 - x}{x} - 6$ .

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Paso 6.3.1

Para escribir $- 6$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} - 6 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Paso 6.3.2

Combina $- 6$ y $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} + \frac{- 6 x}{x} > 0$

Paso 6.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- (2 - x) - 6 x}{x} > 0$

Paso 6.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.3.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- 1 \cdot 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Paso 6.3.4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{- 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Paso 6.3.4.3

Multiplica $- - x$ .

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Paso 6.3.4.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 + 1 x - 6 x}{x} > 0$

Paso 6.3.4.3.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- 2 + x - 6 x}{x} > 0$

Paso 6.3.4.4

Resta $6 x$ de $x$ .

$\frac{- 2 - 5 x}{x} > 0$

Paso 6.3.5

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{- 1 (2) - 5 x}{x} > 0$

Paso 6.3.6

Factoriza $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{- 1 (2) - (5 x)}{x} > 0$

Paso 6.3.7

Factoriza $- 1$ de $- 1 (2) - (5 x)$ .

$\frac{- 1 (2 + 5 x)}{x} > 0$

Paso 6.3.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 + 5 x}{x} > 0$

Paso 6.4

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x = 0$

$2 + 5 x = 0$

Paso 6.5

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$5 x = - 2$

Paso 6.6

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ y simplifica.

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Paso 6.6.1

Divide cada término en $5 x = - 2$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 6.6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.6.2.1

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 6.6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Paso 6.6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Paso 6.6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{2}{5}$

Paso 6.7

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - \frac{2}{5}$

Paso 6.8

Consolida las soluciones.

$x = 0, - \frac{2}{5}$

Paso 7

Obtén el dominio de $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} - 4096$ .

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Paso 7.1

Establece el denominador en $\frac{2 - x}{x}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = 0$

Paso 7.2

Establece el denominador en $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

Paso 7.3

Resuelve $x$

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Paso 7.3.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (4^{\frac{2 - x}{x}}) = \ln (0)$

Paso 7.3.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 7.3.3

No hay soluciones para $4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

No hay solución

Paso 7.4

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$x > 0$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{2}{5}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{2}{5}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 3)}{- 3}} > 64^{2}$

Paso 9.1.3

$10.07936839$ del lado izquierdo no es mayor que $4096$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{2}{5} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{2}{5} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.2$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.2$ en la desigualdad original.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 0.2)}{- 0.2}} > 64^{2}$

Paso 9.2.3

$4194304$ del lado izquierdo es mayor que $4096$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (2)}{2}} > 64^{2}$

Paso 9.3.3

$1$ del lado izquierdo no es mayor que $4096$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 9.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{2}{5}$ Falso

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - \frac{2}{5}$ Falso

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Paso 11

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Notación de intervalo:

$(- \frac{2}{5}, 0)$

Paso 12