Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (4 x - 5) + \log_{2} (3 x - 1) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((4 x - 5) (3 x - 1)) = 0$

Paso 1.2

Expande $(4 x - 5) (3 x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (4 x (3 x - 1) - 5 (3 x - 1)) = 0$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (4 x (3 x) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x - 1)) = 0$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\log_{2} (4 x (3 x) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\log_{2} (4 \cdot (3 x \cdot x) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\log_{2} (4 \cdot (3 (x \cdot x)) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\log_{2} (4 \cdot (3 x^{2}) + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.3.1.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$\log_{2} (12 x^{2} + 4 x \cdot - 1 - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\log_{2} (12 x^{2} - 4 x - 5 (3 x) - 5 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.3.1.5

Multiplica $3$ por $- 5$ .

$\log_{2} (12 x^{2} - 4 x - 15 x - 5 \cdot - 1) = 0$

Paso 1.3.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\log_{2} (12 x^{2} - 4 x - 15 x + 5) = 0$

Paso 1.3.2

Resta $15 x$ de $- 4 x$ .

$\log_{2} (12 x^{2} - 19 x + 5) = 0$

Paso 2

Reescribe $\log_{2} (12 x^{2} - 19 x + 5) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = 12 x^{2} - 19 x + 5$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $12 x^{2} - 19 x + 5 = 2^{0}$ .

$12 x^{2} - 19 x + 5 = 2^{0}$

Paso 3.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$12 x^{2} - 19 x + 5 = 1$

Paso 3.3

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$12 x^{2} - 19 x + 5 - 1 = 0$

Paso 3.4

Resta $1$ de $5$ .

$12 x^{2} - 19 x + 4 = 0$

Paso 3.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 12 \cdot 4 = 48$ y cuya suma es $b = - 19$ .

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Paso 3.5.1.1

Factoriza $- 19$ de $- 19 x$ .

$12 x^{2} - 19 x + 4 = 0$

Paso 3.5.1.2

Reescribe $- 19$ como $- 3$ más $- 16$

$12 x^{2} + (- 3 - 16) x + 4 = 0$

Paso 3.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$12 x^{2} - 3 x - 16 x + 4 = 0$

Paso 3.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(12 x^{2} - 3 x) - 16 x + 4 = 0$

Paso 3.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 x (4 x - 1) - 4 (4 x - 1) = 0$

Paso 3.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (3 x - 4) = 0$

Paso 3.6

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$3 x - 4 = 0$

Paso 3.7

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.7.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 3.7.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 3.7.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.7.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.7.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.7.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.7.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 3.7.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 3.8

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.8.1

Establece $3 x - 4$ igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Paso 3.8.2

Resuelve $3 x - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.8.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$3 x = 4$

Paso 3.8.2.2

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.8.2.2.1

Divide cada término en $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 3.8.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.8.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.8.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Paso 3.8.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Paso 3.9

La solución final comprende todos los valores que hacen $(4 x - 1) (3 x - 4) = 0$ verdadera.

$x = \frac{1}{4}, \frac{4}{3}$

Paso 4

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{2} (4 x - 5) + \log_{2} (3 x - 1) = 0$ sea verdadera.

$x = \frac{4}{3}$

Paso 5

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{4}{3}$

Forma decimal:

$x = 1.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{1}{3}$