Álgebra Ejemplos

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 5$ $\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1

Resuelve $m$ en $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 5$ .

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Paso 1.1

Resta $\frac{1}{n}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{1}{m} = 5 - \frac{1}{n}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$m, 1, n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.2.2

Como $m, 1, n$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $m^{1}, n^{1}$ .

Since $m, 1, n$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part m,n.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

$1$ Enumera los factores primos de cada número.

$2$ Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.2.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.2.6

El factor para $m^{1}$ es $m$ en sí mismo.

$m = m$

m occurs $1$ time.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.2.7

El factor para $n^{1}$ es $n$ en sí mismo.

$n = n$

n occurs $1$ time.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.2.8

El MCM de $m^{1}, n^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$m \cdot n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.2.9

Multiplica $m$ por $n$ .

$m n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{m} = 5 - \frac{1}{n}$ por $m n$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{m} = 5 - \frac{1}{n}$ por $m n$ .

$\frac{1}{m} \cdot (m n) = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $m$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Factoriza $m$ de $m n$ .

$\frac{1}{m} \cdot (m (n)) = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{m} \cdot (m n) = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$n = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{n}$ al numerador.

$n = 5 m n + \frac{- 1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.3.3.1.2

Factoriza $n$ de $m n$ .

$n = 5 m n + \frac{- 1}{n} \cdot (n m)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.3.3.1.3

Cancela el factor común.

$n = 5 m n + \frac{- 1}{n} \cdot (n m)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.3.3.1.4

Reescribe la expresión.

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.4.1

Reescribe la ecuación como $5 m n - m = n$ .

$5 m n - m = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.4.2

Factoriza $m$ de $5 m n - m$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $m$ de $5 m n$ .

$m (5 n) - m = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $m$ de $- m$ .

$m (5 n) + m \cdot - 1 = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $m$ de $m (5 n) + m \cdot - 1$ .

$m (5 n - 1) = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m (5 n - 1) = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.4.3

Divide cada término en $m (5 n - 1) = n$ por $5 n - 1$ y simplifica.

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Paso 1.4.3.1

Divide cada término en $m (5 n - 1) = n$ por $5 n - 1$ .

$\frac{m (5 n - 1)}{5 n - 1} = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $5 n - 1$ .

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Paso 1.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{m (5 n - 1)}{5 n - 1} = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 1.4.3.2.1.2

Divide $m$ por $1$ .

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $m$ por $\frac{n}{5 n - 1}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $m$ en $\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$ por $\frac{n}{5 n - 1}$ .

$\frac{2}{\frac{n}{5 n - 1}} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{2}{\frac{n}{5 n - 1}} + \frac{3}{n}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 (\frac{5 n - 1}{n}) + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 2.2.1.1.2

Combina $2$ y $\frac{5 n - 1}{n}$ .

$\frac{2 (5 n - 1)}{n} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2 (5 n - 1)}{n} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 2.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 (5 n - 1) + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 2.2.1.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 (5 n) + 2 \cdot - 1 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 2.2.1.3.2

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 n + 2 \cdot - 1 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 2.2.1.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{10 n - 2 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n - 2 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 2.2.1.4

Suma $- 2$ y $3$ .

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3

Resuelve $n$ en $\frac{10 n + 1}{n} = 12$ .

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$n, 1$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{10 n + 1}{n} = 12$ por $n$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{10 n + 1}{n} = 12$ por $n$ .

$\frac{10 n + 1}{n} \cdot n = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Cancela el factor común de $n$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{10 n + 1}{n} \cdot n = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que contengan $n$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Resta $12 n$ de ambos lados de la ecuación.

$10 n + 1 - 12 n = 0$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.3.1.2

Resta $12 n$ de $10 n$ .

$- 2 n + 1 = 0$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$- 2 n + 1 = 0$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.3.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 n = - 1$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 2 n = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 2 n = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 n}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 n}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $n$ por $\frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $n$ en $m = \frac{n}{5 n - 1}$ por $\frac{1}{2}$ .

$m = \frac{\frac{1}{2}}{5 (\frac{1}{2}) - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{\frac{1}{2}}{5 (\frac{1}{2}) - 1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5 (\frac{1}{2}) - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.2.1

Combina $5$ y $\frac{1}{2}$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5 - 2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.5.2

Resta $2$ de $5$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$m = \frac{1}{2} \cdot (1 (\frac{2}{3}))$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.5.1

Cancela el factor común.

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.5.2

Reescribe la expresión.

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

Paso 5

Enumera todas las soluciones.

$m = \frac{1}{3}, n = \frac{1}{2}$