Álgebra Ejemplos

${(2 + \sqrt{3})}^{2} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Reescribe ${(2 + \sqrt{3})}^{2}$ como $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ .

$(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3}) - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.2

Expande $(2 + \sqrt{3}) (2 + \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3}) - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} (2 + \sqrt{3}) - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3} \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.3.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $\sqrt{3}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.3.1.3

Combina con la regla del producto para radicales.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.3.1.4

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{9} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.3.1.5

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.3.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$4 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.3.2

Suma $4$ y $3$ .

$7 + 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.3.3

Suma $2 \sqrt{3}$ y $2 \sqrt{3}$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - {(2 - \sqrt{3})}^{2}$

Paso 1.4

Reescribe ${(2 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - ((2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3}))$

Paso 1.5

Expande $(2 - \sqrt{3}) (2 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$7 + 4 \sqrt{3} - (2 (2 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Paso 1.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$7 + 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (2 - \sqrt{3}))$

Paso 1.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$7 + 4 \sqrt{3} - (2 \cdot 2 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Paso 1.6

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.6.1.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 + 2 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Paso 1.6.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Paso 1.6.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3}))$

Paso 1.6.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 1.6.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3})$

Paso 1.6.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3})$

Paso 1.6.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

Paso 1.6.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

Paso 1.6.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1})$

Paso 1.6.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2})$

Paso 1.6.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2})$

Paso 1.6.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2})$

Paso 1.6.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Paso 1.6.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.6.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}})$

Paso 1.6.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3^{1})$

Paso 1.6.1.5.5

Evalúa el exponente.

$7 + 4 \sqrt{3} - (4 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 3)$

Paso 1.6.2

Suma $4$ y $3$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (7 - 2 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3})$

Paso 1.6.3

Resta $2 \sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - (7 - 4 \sqrt{3})$

Paso 1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$7 + 4 \sqrt{3} - 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Paso 1.8

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - 7 - (- 4 \sqrt{3})$

Paso 1.9

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$7 + 4 \sqrt{3} - 7 + 4 \sqrt{3}$

Paso 2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.1

Resta $7$ de $7$ .

$0 + 4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$

Paso 2.2

Suma $0$ y $4 \sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3}$

Paso 2.3

Suma $4 \sqrt{3}$ y $4 \sqrt{3}$ .

$8 \sqrt{3}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$8 \sqrt{3}$

Forma decimal:

$13.85640646 \dots$