Álgebra Ejemplos

$g (x) = | \frac{3}{7} (x - 4) | + 2$

Paso 1

Obtén el vértice del valor absoluto. En este caso, el vértice de $y = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ es $(4, 2)$ .

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Paso 1.1

Para obtener la coordenada de $x$ del vértice, establece el interior del valor absoluto $\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7}$ igual a $0$ . En este caso, $\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} = 0$ .

$\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} = 0$

Paso 1.2

Resuelve la ecuación $\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} = 0$ para obtener la coordenada $x$ para el vértice del valor absoluto.

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Paso 1.2.1

Suma $\frac{12}{7}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{3 x}{7} = \frac{12}{7}$

Paso 1.2.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$3 x = 12$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $3 x = 12$ por $3$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $3 x = 12$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{12}{3}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $12$ por $3$ .

$x = 4$

Paso 1.3

Reemplaza la variable $x$ con $4$ en la expresión.

$y = | \frac{3 (4)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Paso 1.4

Simplifica $| \frac{3 (4)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ .

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Paso 1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = | \frac{3 (4) - 12}{7} | + 2$

Paso 1.4.1.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$y = | \frac{12 - 12}{7} | + 2$

Paso 1.4.1.3

Resta $12$ de $12$ .

$y = | \frac{0}{7} | + 2$

Paso 1.4.1.4

Divide $0$ por $7$ .

$y = | 0 | + 2$

Paso 1.4.1.5

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$y = 0 + 2$

Paso 1.4.2

Suma $0$ y $2$ .

$y = 2$

Paso 1.5

El vértice del valor absoluto es $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

Paso 2

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 3

Para cada valor $x$ , hay un valor $y$ . Selecciona algunos valores $x$ del dominio. Sería más útil seleccionar los valores para que estén cerca del valor $x$ del vértice del valor absoluto.

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Paso 3.1

Sustituye el valor $x$ $2$ en $f (x) = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ . En este caso, el punto es $(2, \frac{20}{7})$ .

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Paso 3.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f (2) = | \frac{3 (2)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Paso 3.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = | \frac{3 (2) - 12}{7} | + 2$

Paso 3.1.2.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f (2) = | \frac{6 - 12}{7} | + 2$

Paso 3.1.2.1.3

Resta $12$ de $6$ .

$f (2) = | \frac{- 6}{7} | + 2$

Paso 3.1.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (2) = | - \frac{6}{7} | + 2$

Paso 3.1.2.1.5

$- \frac{6}{7}$ es aproximadamente $- 0.\overline{857142}$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{6}{7}$ y elimina el valor absoluto.

$f (2) = \frac{6}{7} + 2$

Paso 3.1.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$f (2) = \frac{6}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Paso 3.1.2.3

Combina $2$ y $\frac{7}{7}$ .

$f (2) = \frac{6}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Paso 3.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (2) = \frac{6 + 2 \cdot 7}{7}$

Paso 3.1.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.2.5.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$f (2) = \frac{6 + 14}{7}$

Paso 3.1.2.5.2

Suma $6$ y $14$ .

$f (2) = \frac{20}{7}$

Paso 3.1.2.6

La respuesta final es $\frac{20}{7}$ .

$y = \frac{20}{7}$

Paso 3.2

Sustituye el valor $x$ $3$ en $f (x) = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ . En este caso, el punto es $(3, \frac{17}{7})$ .

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Paso 3.2.1

Reemplaza la variable $x$ con $3$ en la expresión.

$f (3) = | \frac{3 (3)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Paso 3.2.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = | \frac{3 (3) - 12}{7} | + 2$

Paso 3.2.2.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$f (3) = | \frac{9 - 12}{7} | + 2$

Paso 3.2.2.1.3

Resta $12$ de $9$ .

$f (3) = | \frac{- 3}{7} | + 2$

Paso 3.2.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (3) = | - \frac{3}{7} | + 2$

Paso 3.2.2.1.5

$- \frac{3}{7}$ es aproximadamente $- 0.\overline{428571}$ , que es negativo, así es que niega $- \frac{3}{7}$ y elimina el valor absoluto.

$f (3) = \frac{3}{7} + 2$

Paso 3.2.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$f (3) = \frac{3}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Paso 3.2.2.3

Combina $2$ y $\frac{7}{7}$ .

$f (3) = \frac{3}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Paso 3.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (3) = \frac{3 + 2 \cdot 7}{7}$

Paso 3.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.5.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$f (3) = \frac{3 + 14}{7}$

Paso 3.2.2.5.2

Suma $3$ y $14$ .

$f (3) = \frac{17}{7}$

Paso 3.2.2.6

La respuesta final es $\frac{17}{7}$ .

$y = \frac{17}{7}$

Paso 3.3

Sustituye el valor $x$ $6$ en $f (x) = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ . En este caso, el punto es $(6, \frac{20}{7})$ .

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Paso 3.3.1

Reemplaza la variable $x$ con $6$ en la expresión.

$f (6) = | \frac{3 (6)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Paso 3.3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (6) = | \frac{3 (6) - 12}{7} | + 2$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $6$ .

$f (6) = | \frac{18 - 12}{7} | + 2$

Paso 3.3.2.1.3

Resta $12$ de $18$ .

$f (6) = | \frac{6}{7} | + 2$

Paso 3.3.2.1.4

$\frac{6}{7}$ es aproximadamente $0.\overline{857142}$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$f (6) = \frac{6}{7} + 2$

Paso 3.3.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7}{7}$ .

$f (6) = \frac{6}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Paso 3.3.2.3

Combina $2$ y $\frac{7}{7}$ .

$f (6) = \frac{6}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Paso 3.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (6) = \frac{6 + 2 \cdot 7}{7}$

Paso 3.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.2.5.1

Multiplica $2$ por $7$ .

$f (6) = \frac{6 + 14}{7}$

Paso 3.3.2.5.2

Suma $6$ y $14$ .

$f (6) = \frac{20}{7}$

Paso 3.3.2.6

La respuesta final es $\frac{20}{7}$ .

$y = \frac{20}{7}$

Paso 3.4

El valor absoluto puede representarse gráficamente mediante los puntos alrededor del vértice $(4, 2), (2, 2.86), (3, 2.43), (5, 2.43), (6, 2.86)$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 2.86 \\ 3 & 2.43 \\ 4 & 2 \\ 5 & 2.43 \\ 6 & 2.86 \end{array}$

Paso 4