Álgebra Ejemplos

$\cos (x) \csc (x) = 2 \cos (x)$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Simplifica $\cos (x) \csc (x)$ .

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Paso 1.1.1

Reescribe $\csc (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} = 2 \cos (x)$

Paso 1.1.2

Combina $\cos (x)$ y $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} = 2 \cos (x)$

Paso 2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\sin (x)$ .

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (2 \cos (x))$

Paso 3

Cancela el factor común de $\sin (x)$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) (2 \cos (x))$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$\cos (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Paso 4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\cos (x) = 2 \sin (x) \cos (x)$

Paso 5

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\cos (x) = \sin (2 x)$

Paso 6

Resta $\sin (2 x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) - \sin (2 x) = 0$

Paso 7

Simplifica cada término.

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Paso 7.1

Aplica la razón del ángulo doble sinusoidal.

$\cos (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Paso 7.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 8

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Paso 8.1

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos^{1} (x)$ .

$\cos (x) \cdot 1 - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Paso 8.2

Factoriza $\cos (x)$ de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin (x)) = 0$

Paso 8.3

Factoriza $\cos (x)$ de $\cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- 2 \sin (x))$ .

$\cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Paso 10

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $\cos (x)$ igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $\cos (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (0)$

Paso 10.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.1

El valor exacto de $\arccos (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 10.2.3

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Paso 10.2.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Paso 10.2.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 10.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 10.2.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 10.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 10.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Paso 10.2.4.3.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 10.2.5

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 10.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 10.2.6

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 11

Establece $1 - 2 \sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $1 - 2 \sin (x)$ igual a $0$ .

$1 - 2 \sin (x) = 0$

Paso 11.2

Resuelve $1 - 2 \sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Paso 11.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.2.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Paso 11.2.3

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 11.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 11.2.4.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 11.2.5

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 11.2.6

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 11.2.6.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 11.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 11.2.6.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 11.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 11.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 11.2.6.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 11.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 11.2.7

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 11.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 11.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 11.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 11.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 11.2.8

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $\cos (x) (1 - 2 \sin (x)) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Consolida $\frac{π}{2} + 2 π n$ y $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ en $\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$