Álgebra Ejemplos

$x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{6} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Paso 2

Reescribe $x^{6}$ como ${(x^{2})}^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Paso 3

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

${(x^{2})}^{3} + 2^{3} + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Paso 4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 5.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Paso 5.1.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Paso 5.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Paso 5.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Paso 6

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{4} + 12 x^{2}$ .

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Paso 6.1

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{4}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 12 x^{2}$

Paso 6.2

Factoriza $6 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$

Paso 6.3

Factoriza $6 x^{2}$ de $6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$

Paso 7

Factoriza $x^{2} + 2$ de $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$ .

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Paso 7.1

Factoriza $x^{2} + 2$ de $6 x^{2} (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$

Paso 7.2

Factoriza $x^{2} + 2$ de $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4 + 6 x^{2})$

Paso 8

Suma $- 2 x^{2}$ y $6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Paso 9

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4)$

Paso 10

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 4)$

Paso 11

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 11.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 2^{2})$

Paso 11.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Paso 11.3

Reescribe el polinomio.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

Paso 11.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) {(u + 2)}^{2}$

Paso 12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}$