Álgebra Ejemplos

$\frac{\tan (15 °) + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

El valor exacto de $\tan (15 °)$ es $2 - \sqrt{3}$ .

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Paso 1.1.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\tan (45 - 30) + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.2

Separa la negación.

$\frac{\tan (45 - (30)) + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.4

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.5

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.6

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.7

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8

Simplifica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Paso 1.1.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Paso 1.1.8.1.1

Multiplica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.1.2

Combinar.

$\frac{\frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.8.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$\frac{\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.5

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1.8.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.1.8.5.2.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 1$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.6

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.7

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.8

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.9

Simplifica.

$\frac{\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.10

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1.8.10.1

Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.10.2

Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.11

Reescribe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{\frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.12

Expande $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.8.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.8.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.8.13.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 1.1.8.13.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 1.1.8.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.1.8.13.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.2

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{\frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.13.3

Resta $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.14

Cancela el factor común de $12 - 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Paso 1.1.8.14.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.14.2

Factoriza $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.14.3

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.14.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.8.14.4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.14.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.14.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{1} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.1.8.14.4.4

Divide $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{2 - \sqrt{3} + \tan (30 °)}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.2

El valor exacto de $\tan (30 °)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.3

Para escribir $- \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 - \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.4

Combina $- \sqrt{3}$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 + \frac{- \sqrt{3} \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 + \frac{- \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.6

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{3}{3} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.7

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 3}{3} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 \cdot 3 - \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.9

Reescribe $\frac{2 \cdot 3 - \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3}}{3}$ en forma factorizada.

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Paso 1.9.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 - \sqrt{3} \cdot 3 + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.9.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 1.9.3

Suma $- 3 \sqrt{3}$ y $\sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (15 °) \tan (30 °)}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

El valor exacto de $\tan (15 °)$ es $2 - \sqrt{3}$ .

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Paso 2.1.1

Divide $15$ en dos ángulos donde se conozcan los valores de las seis funciones trigonométricas.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (45 - 30) \tan (30 °)}$

Paso 2.1.2

Separa la negación.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \tan (45 - (30)) \tan (30 °)}$

Paso 2.1.3

Aplica la diferencia de la razón de los ángulos.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{\tan (45) - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.4

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{1 - \tan (30)}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.5

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (45) \tan (30)} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.6

El valor exacto de $\tan (45)$ es $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (30)} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.7

El valor exacto de $\tan (30)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8

Simplifica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

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Paso 2.1.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

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Paso 2.1.8.1.1

Multiplica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}) \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.1.2

Combinar.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.8.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ al numerador.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.4

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.5

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1.8.5.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.5.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.1.8.5.2.1

Factoriza $3$ de $3 \cdot 1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.6

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}) \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.7

Multiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ por $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.8

Expande el denominador con el método PEIU.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.9

Simplifica.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.10

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.8.10.1

Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.10.2

Eleva $3 - \sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.10.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.10.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.11

Reescribe ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.12

Expande $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.8.12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.12.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.12.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.8.13.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.8.13.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.4

Multiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Paso 2.1.8.13.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.4.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.4.6

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.5

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.1.8.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.5.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.5.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.1.8.13.1.5.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.5.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.1.5.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.2

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.13.3

Resta $3 \sqrt{3}$ de $- 3 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.14

Cancela el factor común de $12 - 6 \sqrt{3}$ y $6$ .

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Paso 2.1.8.14.1

Factoriza $6$ de $12$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.14.2

Factoriza $6$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.14.3

Factoriza $6$ de $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.14.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.8.14.4.1

Factoriza $6$ de $6$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.14.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.14.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - \frac{2 - \sqrt{3}}{1} \tan (30 °)}$

Paso 2.1.8.14.4.4

Divide $2 - \sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - (2 - \sqrt{3}) \tan (30 °)}$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + (- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}) \tan (30 °)}$

Paso 2.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + (- 2 - - \sqrt{3}) \tan (30 °)}$

Paso 2.4

Multiplica $- - \sqrt{3}$ .

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Paso 2.4.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + (- 2 + 1 \sqrt{3}) \tan (30 °)}$

Paso 2.4.2

Multiplica $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) \tan (30 °)}$

Paso 2.5

El valor exacto de $\tan (30 °)$ es $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + (- 2 + \sqrt{3}) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.6

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 - 2 \frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.7

Combina $- 2$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.8

Multiplica $\sqrt{3} \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 2.8.1

Combina $\sqrt{3}$ y $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}}$

Paso 2.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}}$

Paso 2.8.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}}$

Paso 2.8.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3}}{3} + \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Paso 2.9

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{3}}$

Paso 2.10

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 2.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}}$

Paso 2.10.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}}$

Paso 2.10.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Paso 2.10.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.10.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{3}}$

Paso 2.10.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3} + 3^{1}}{3}}$

Paso 2.10.5

Evalúa el exponente.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{- 2 \sqrt{3} + 3}{3}}$

Paso 2.11

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3}{3} + \frac{- 2 \sqrt{3} + 3}{3}}$

Paso 2.12

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - 2 \sqrt{3} + 3}{3}}$

Paso 2.13

Suma $3$ y $3$ .

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}$

Paso 3

Cancela el factor común de $\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Paso 3.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}{\frac{6 - 2 \sqrt{3}}{3}}$

Paso 3.2

Reescribe la expresión.

$1$