Álgebra Ejemplos

$\sin^{2} (θ) + 2 \sin (θ) + 1 = 0$ if $0 \leq θ \leq 2 π$

Paso 1

Sustituye $u$ por $\sin (θ)$ .

${(u)}^{2} + 2 (u) + 1 = 0$

Paso 2

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$u^{2} + 2 u + 1^{2} = 0$

Paso 2.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Paso 2.3

Reescribe el polinomio.

$u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Paso 2.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 1$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Paso 3

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 4

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 5

Sustituye $\sin (θ)$ por $u$ .

$\sin (θ) = - 1$

Paso 6

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $θ$ del interior de seno.

$θ = \arcsin (- 1)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$θ = - \frac{π}{2}$

Paso 8

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 9

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 9.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 10

Obtén el período de $\sin (θ)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 10.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 10.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 10.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 11

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 11.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 11.3

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 11.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 11.4

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 11.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 11.5

Enumera los nuevos ángulos.

$θ = \frac{3 π}{2}$

Paso 12

El período de la función $\sin (θ)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 13

Consolida las respuestas.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Inserta $0$ en $n$ y simplifica para ver si la solución está contenida en $[0, 2 π]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Inserta $0$ en $n$ .

$\frac{3 π}{2} + 2 π (0)$

Paso 14.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1

Multiplica $2 π (0)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.2.1.1

Multiplica $0$ por $2$ .

$\frac{3 π}{2} + 0 π$

Paso 14.2.1.2

Multiplica $0$ por $π$ .

$\frac{3 π}{2} + 0$

Paso 14.2.2

Suma $\frac{3 π}{2}$ y $0$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 14.3

El intervalo $[0, 2 π]$ contiene $\frac{3 π}{2}$ .

$θ = \frac{3 π}{2}$