Álgebra Ejemplos

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = 1$

Paso 1

Reescribe $\tan^{2} (x) - \sec (x)$ como una diferencia de cuadrados.

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \tan (x)$ y $b = \sqrt{\sec (x)}$ .

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$

Paso 3

Resuelve $\sqrt{\sec (x)}$

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ .

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Paso 3.1.1.1

Expande $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.1.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.1.1.2.1

Combina los términos opuestos en $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)})$ .

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Paso 3.1.1.2.1.1

Reordena los factores en los términos $\tan (x) (- \sqrt{\sec (x)})$ y $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.2.1.2

Suma $- \sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ y $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.2.1.3

Suma $\tan (x) \tan (x)$ y $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1.2.2.1

Multiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Paso 3.1.1.2.2.1.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.2.2.1.2

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.2.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.2.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.2.2.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\tan^{2} (x) - \sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)} = 1$

Paso 3.1.1.2.2.3

Multiplica $\sqrt{\sec (x)}$ por $\sqrt{\sec (x)}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.1.1.2.2.3.1

Mueve $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - (\sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Paso 3.1.1.2.2.3.2

Multiplica $\sqrt{\sec (x)}$ por $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1$

Paso 3.2

Resta $\tan^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$

Paso 3.3

Divide cada término en $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ por $- 1$ .

$\frac{- {\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{{\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Paso 3.3.2.2

Divide ${\sqrt{\sec (x)}}^{2}$ por $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Divide $1$ por $- 1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Paso 3.3.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{\tan^{2} (x)}{1}$

Paso 3.3.3.1.3

Divide $\tan^{2} (x)$ por $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \tan^{2} (x)$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$

Paso 3.5

Simplifica $\pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$ .

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Paso 3.5.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.5.1.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1^{2} + \tan^{2} (x)}$

Paso 3.5.1.2

Reordena $- 1^{2}$ y $\tan^{2} (x)$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{\tan^{2} (x) - 1^{2}}$

Paso 3.5.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \tan (x)$ y $b = 1$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Paso 3.6

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Paso 3.6.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Paso 3.6.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}, - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Paso 4

Resuelve $x$ en $\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sec (x)}$ como ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sec^{1} (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ .

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Paso 4.2.3.1.1

Reescribe ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ como $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

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Paso 4.2.3.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ como ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 4.2.3.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 4.2.3.1.1.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.3.1.1.4.1

Cancela el factor común.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 4.2.3.1.1.4.2

Reescribe la expresión.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Paso 4.2.3.1.1.5

Simplifica.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Paso 4.2.3.1.2

Expande $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Paso 4.2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Paso 4.2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 4.2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.3.1.3.1.1

Multiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Paso 4.2.3.1.3.1.1.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 4.2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 4.2.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 4.2.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 4.2.3.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 4.2.3.1.3.1.3

Reescribe $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 4.2.3.1.3.1.4

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 4.2.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Paso 4.2.3.1.3.2

Suma $- \tan (x)$ y $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Paso 4.2.3.1.3.3

Suma $\tan^{2} (x)$ y $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Resta $\tan^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Paso 4.3.2

Reemplaza $- \tan^{2} (x)$ con $- (\sec^{2} (x) - 1)$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Paso 4.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Paso 4.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Paso 4.3.4

Reordena el polinomio.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Paso 4.3.5

Sustituye $u$ por $\sec (x)$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Paso 4.3.6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Paso 4.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Paso 4.3.8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 4.3.8.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + u + 2$ .

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Paso 4.3.8.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Paso 4.3.8.1.2

Factoriza $- 1$ de $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Paso 4.3.8.1.3

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Paso 4.3.8.1.4

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Paso 4.3.8.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Paso 4.3.8.2

Factoriza.

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Paso 4.3.8.2.1

Factoriza $u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Paso 4.3.8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 4.3.8.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Paso 4.3.8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Paso 4.3.9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 4.3.10

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.10.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 4.3.10.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 4.3.11

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 4.3.11.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 4.3.11.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 4.3.12

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u - 2) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 2, - 1$

Paso 4.3.13

Sustituye $\sec (x)$ por $u$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Paso 4.3.14

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Paso 4.3.15

Resuelve $x$ en $\sec (x) = 2$ .

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Paso 4.3.15.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (2)$

Paso 4.3.15.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.15.2.1

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 4.3.15.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 4.3.15.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 4.3.15.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 4.3.15.4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.3.15.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 4.3.15.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 4.3.15.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.3.15.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 4.3.15.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 4.3.15.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 4.3.15.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.3.15.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.3.15.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.3.15.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.3.15.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.3.16

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - 1$ .

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Paso 4.3.16.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- 1)$

Paso 4.3.16.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.16.2.1

El valor exacto de $arcsec (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 4.3.16.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 4.3.16.4

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 4.3.16.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 4.3.16.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.3.16.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.3.16.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.3.16.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.3.16.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.3.17

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4.3.18

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Resuelve $x$ en $\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

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Paso 5.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Paso 5.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\sec (x)}$ como ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Paso 5.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Simplifica ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Paso 5.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Paso 5.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\sec^{1} (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Paso 5.2.2.1.2

Simplifica.

$\sec (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica ${(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1

Simplifica mediante la cancelación del exponente con el radical.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

$\sec (x) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Paso 5.2.3.1.1.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1.2.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\sec (x) = 1 {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Paso 5.2.3.1.1.2.2

Multiplica ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ por $1$ .

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Paso 5.2.3.1.1.3

Reescribe ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ como $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ como ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Paso 5.2.3.1.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Paso 5.2.3.1.1.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 5.2.3.1.1.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.1.1.3.4.1

Cancela el factor común.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Paso 5.2.3.1.1.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Paso 5.2.3.1.1.3.5

Simplifica.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Paso 5.2.3.1.2

Expande $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Paso 5.2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Paso 5.2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 5.2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1.3.1.1

Multiplica $\tan (x) \tan (x)$ .

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Paso 5.2.3.1.3.1.1.1

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 5.2.3.1.3.1.1.2

Eleva $\tan (x)$ a la potencia de $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 5.2.3.1.3.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 5.2.3.1.3.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 5.2.3.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 5.2.3.1.3.1.3

Reescribe $- 1 \tan (x)$ como $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 5.2.3.1.3.1.4

Multiplica $\tan (x)$ por $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Paso 5.2.3.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Paso 5.2.3.1.3.2

Suma $- \tan (x)$ y $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Paso 5.2.3.1.3.3

Suma $\tan^{2} (x)$ y $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Paso 5.3

Resuelve $x$

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Paso 5.3.1

Resta $\tan^{2} (x)$ de ambos lados de la ecuación.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Paso 5.3.2

Reemplaza $- \tan^{2} (x)$ con $- (\sec^{2} (x) - 1)$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Paso 5.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Paso 5.3.4

Reordena el polinomio.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Paso 5.3.5

Sustituye $u$ por $\sec (x)$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Paso 5.3.6

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Paso 5.3.7

Suma $1$ y $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Paso 5.3.8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.3.8.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} + u + 2$ .

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Paso 5.3.8.1.1

Factoriza $- 1$ de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Paso 5.3.8.1.2

Factoriza $- 1$ de $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Paso 5.3.8.1.3

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Paso 5.3.8.1.4

Factoriza $- 1$ de $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Paso 5.3.8.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Paso 5.3.8.2

Factoriza.

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Paso 5.3.8.2.1

Factoriza $u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Paso 5.3.8.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 5.3.8.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Paso 5.3.8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Paso 5.3.9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 5.3.10

Establece $u - 2$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.3.10.1

Establece $u - 2$ igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Paso 5.3.10.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 2$

Paso 5.3.11

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 5.3.11.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 5.3.11.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 5.3.12

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (u - 2) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = 2, - 1$

Paso 5.3.13

Sustituye $\sec (x)$ por $u$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Paso 5.3.14

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Paso 5.3.15

Resuelve $x$ en $\sec (x) = 2$ .

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Paso 5.3.15.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (2)$

Paso 5.3.15.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.15.2.1

El valor exacto de $arcsec (2)$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 5.3.15.3

La secante es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 5.3.15.4

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.3.15.4.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.3.15.4.2

Combina fracciones.

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Paso 5.3.15.4.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.3.15.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.3.15.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.15.4.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 5.3.15.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 5.3.15.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 5.3.15.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.3.15.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.3.15.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.3.15.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.3.15.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.3.16

Resuelve $x$ en $\sec (x) = - 1$ .

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Paso 5.3.16.1

Calcula la inversa de la secante de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la secante.

$x = arcsec (- 1)$

Paso 5.3.16.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.16.2.1

El valor exacto de $arcsec (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 5.3.16.3

La secante es negativa en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 5.3.16.4

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 5.3.16.5

Obtén el período de $\sec (x)$ .

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Paso 5.3.16.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.3.16.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.3.16.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.3.16.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.3.16.6

El período de la función $\sec (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.3.17

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5.3.18

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Excluye las soluciones que no hagan que $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$ sea verdadera.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$