Álgebra Ejemplos

$\frac{c^{2} - 4}{6 c^{4} + 15 c^{3}} \div \frac{c^{2} + 4 c + 4}{12 c^{3} + 30 c^{2}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{c^{2} - 4}{6 c^{4} + 15 c^{3}} \cdot \frac{12 c^{3} + 30 c^{2}}{c^{2} + 4 c + 4}$

Paso 2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{c^{2} - 2^{2}}{6 c^{4} + 15 c^{3}} \cdot \frac{12 c^{3} + 30 c^{2}}{c^{2} + 4 c + 4}$

Paso 2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = c$ y $b = 2$ .

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{6 c^{4} + 15 c^{3}} \cdot \frac{12 c^{3} + 30 c^{2}}{c^{2} + 4 c + 4}$

Paso 3

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 3.1

Factoriza $3 c^{3}$ de $6 c^{4} + 15 c^{3}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $3 c^{3}$ de $6 c^{4}$ .

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{3 c^{3} (2 c) + 15 c^{3}} \cdot \frac{12 c^{3} + 30 c^{2}}{c^{2} + 4 c + 4}$

Paso 3.1.2

Factoriza $3 c^{3}$ de $15 c^{3}$ .

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{3 c^{3} (2 c) + 3 c^{3} (5)} \cdot \frac{12 c^{3} + 30 c^{2}}{c^{2} + 4 c + 4}$

Paso 3.1.3

Factoriza $3 c^{3}$ de $3 c^{3} (2 c) + 3 c^{3} (5)$ .

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{3 c^{3} (2 c + 5)} \cdot \frac{12 c^{3} + 30 c^{2}}{c^{2} + 4 c + 4}$

Paso 3.2

Factoriza $6 c^{2}$ de $12 c^{3} + 30 c^{2}$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $6 c^{2}$ de $12 c^{3}$ .

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{3 c^{3} (2 c + 5)} \cdot \frac{6 c^{2} (2 c) + 30 c^{2}}{c^{2} + 4 c + 4}$

Paso 3.2.2

Factoriza $6 c^{2}$ de $30 c^{2}$ .

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{3 c^{3} (2 c + 5)} \cdot \frac{6 c^{2} (2 c) + 6 c^{2} (5)}{c^{2} + 4 c + 4}$

Paso 3.2.3

Factoriza $6 c^{2}$ de $6 c^{2} (2 c) + 6 c^{2} (5)$ .

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{3 c^{3} (2 c + 5)} \cdot \frac{6 c^{2} (2 c + 5)}{c^{2} + 4 c + 4}$

Paso 4

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{3 c^{3} (2 c + 5)} \cdot \frac{6 c^{2} (2 c + 5)}{c^{2} + 4 c + 2^{2}}$

Paso 4.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 c = 2 \cdot c \cdot 2$

Paso 4.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{3 c^{3} (2 c + 5)} \cdot \frac{6 c^{2} (2 c + 5)}{c^{2} + 2 \cdot c \cdot 2 + 2^{2}}$

Paso 4.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = c$ y $b = 2$ .

$\frac{(c + 2) (c - 2)}{3 c^{3} (2 c + 5)} \cdot \frac{6 c^{2} (2 c + 5)}{{(c + 2)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combinar.

$\frac{(c + 2) (c - 2) (6 c^{2} (2 c + 5))}{3 c^{3} (2 c + 5) {(c + 2)}^{2}}$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $c + 2$ y ${(c + 2)}^{2}$ .

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Paso 5.2.1

Factoriza $c + 2$ de $(c + 2) (c - 2) (6 c^{2} (2 c + 5))$ .

$\frac{(c + 2) ((c - 2) (6 c^{2} (2 c + 5)))}{3 c^{3} (2 c + 5) {(c + 2)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $c + 2$ de $3 c^{3} (2 c + 5) {(c + 2)}^{2}$ .

$\frac{(c + 2) ((c - 2) (6 c^{2} (2 c + 5)))}{(c + 2) (3 c^{3} (2 c + 5) (c + 2))}$

Paso 5.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(c + 2) ((c - 2) (6 c^{2} (2 c + 5)))}{(c + 2) (3 c^{3} (2 c + 5) (c + 2))}$

Paso 5.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(c - 2) (6 c^{2} (2 c + 5))}{3 c^{3} (2 c + 5) (c + 2)}$

Paso 5.3

Cancela el factor común de $6$ y $3$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $3$ de $(c - 2) (6 c^{2} (2 c + 5))$ .

$\frac{3 ((c - 2) (2 c^{2} (2 c + 5)))}{3 c^{3} (2 c + 5) (c + 2)}$

Paso 5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.1

Factoriza $3$ de $3 c^{3} (2 c + 5) (c + 2)$ .

$\frac{3 ((c - 2) (2 c^{2} (2 c + 5)))}{3 ((c^{3} (2 c + 5)) (c + 2))}$

Paso 5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 ((c - 2) (2 c^{2} (2 c + 5)))}{3 ((c^{3} (2 c + 5)) (c + 2))}$

Paso 5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(c - 2) (2 c^{2} (2 c + 5))}{(c^{3} (2 c + 5)) (c + 2)}$

Paso 5.4

Cancela el factor común de $c^{2}$ y $c^{3}$ .

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Paso 5.4.1

Factoriza $c^{2}$ de $(c - 2) (2 c^{2} (2 c + 5))$ .

$\frac{c^{2} ((c - 2) (2 (2 c + 5)))}{(c^{3} (2 c + 5)) (c + 2)}$

Paso 5.4.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.4.2.1

Factoriza $c^{2}$ de $(c^{3} (2 c + 5)) (c + 2)$ .

$\frac{c^{2} ((c - 2) (2 (2 c + 5)))}{c^{2} ((c (2 c + 5)) (c + 2))}$

Paso 5.4.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{c^{2} ((c - 2) (2 (2 c + 5)))}{c^{2} ((c (2 c + 5)) (c + 2))}$

Paso 5.4.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(c - 2) (2 (2 c + 5))}{(c (2 c + 5)) (c + 2)}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $2 c + 5$ .

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Paso 5.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(c - 2) (2 (2 c + 5))}{c (2 c + 5) (c + 2)}$

Paso 5.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(c - 2) \cdot (2)}{(c) (c + 2)}$

Paso 5.6

Mueve $2$ a la izquierda de $c - 2$ .

$\frac{2 (c - 2)}{c (c + 2)}$