Álgebra Ejemplos

$\sqrt{x^{2} - 4} \leq 3 - x$

Paso 1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la desigualdad, eleva al cuadrado ambos lados de la desigualdad.

${\sqrt{x^{2} - 4}}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Paso 2

Simplifica cada lado de la desigualdad.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x^{2} - 4}$ como ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Paso 2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 4)}^{1} \leq {(3 - x)}^{2}$

Paso 2.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} - 4 \leq {(3 - x)}^{2}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica ${(3 - x)}^{2}$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe ${(3 - x)}^{2}$ como $(3 - x) (3 - x)$ .

$x^{2} - 4 \leq (3 - x) (3 - x)$

Paso 2.3.1.2

Expande $(3 - x) (3 - x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 \leq 3 (3 - x) - x (3 - x)$

Paso 2.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)$

Paso 2.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Paso 2.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.3.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Paso 2.3.1.3.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)$

Paso 2.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - x (- x)$

Paso 2.3.1.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Paso 2.3.1.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.3.1.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Paso 2.3.1.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}$

Paso 2.3.1.3.1.7

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

Paso 2.3.1.3.2

Resta $3 x$ de $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 6 x + x^{2}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$9 - 6 x + x^{2} \geq x^{2} - 4$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la desigualdad.

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Paso 3.2.1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$9 - 6 x + x^{2} - x^{2} \geq - 4$

Paso 3.2.2

Combina los términos opuestos en $9 - 6 x + x^{2} - x^{2}$ .

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Paso 3.2.2.1

Resta $x^{2}$ de $x^{2}$ .

$9 - 6 x + 0 \geq - 4$

Paso 3.2.2.2

Suma $9 - 6 x$ y $0$ .

$9 - 6 x \geq - 4$

Paso 3.3

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la desigualdad.

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Paso 3.3.1

Resta $9$ de ambos lados de la desigualdad.

$- 6 x \geq - 4 - 9$

Paso 3.3.2

Resta $9$ de $- 4$ .

$- 6 x \geq - 13$

Paso 3.4

Divide cada término en $- 6 x \geq - 13$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 3.4.1

Divide cada término de $- 6 x \geq - 13$ por $- 6$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Paso 3.4.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \leq \frac{- 13}{- 6}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x \leq \frac{13}{6}$

Paso 4

Obtén el dominio de $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 3 + x$ .

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Paso 4.1

Establece el radicando en $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Paso 4.2

Resuelve $x$

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Paso 4.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Paso 4.2.2

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.2.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 4.2.2.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 4.2.3

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.2.3.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 4.2.3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 4.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ verdadera.

$x = - 2, 2$

Paso 4.2.5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Paso 4.2.6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 4.2.6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.2.6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 4.2.6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Paso 4.2.6.1.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.2.6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.2.6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 4.2.6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Paso 4.2.6.2.3

$- 4$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 4.2.6.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 4.2.6.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 4.2.6.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Paso 4.2.6.3.3

$12$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 4.2.6.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 4.2.7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 2$ o $x \geq 2$

Paso 4.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Paso 5

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < \frac{13}{6}$

$x > \frac{13}{6}$

Paso 6

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 6.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 6.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 4} \leq 3 - (- 4)$

Paso 6.1.3

$3.46410161$ del lado izquierdo es menor que $7$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.2

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 6.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4} \leq 3 - (0)$

Paso 6.2.3

El lado izquierdo no es igual al lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.3

Prueba un valor en el intervalo $2 < x < \frac{13}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.3.1

Elije un valor en el intervalo $2 < x < \frac{13}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2.08$

Paso 6.3.2

Reemplaza $x$ con $2.08$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(2.08)}^{2} - 4} \leq 3 - (2.08)$

Paso 6.3.3

$0.57131427$ del lado izquierdo es menor que $0.92$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 6.4

Prueba un valor en el intervalo $x > \frac{13}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 6.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > \frac{13}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 5$

Paso 6.4.2

Reemplaza $x$ con $5$ en la desigualdad original.

$\sqrt{{(5)}^{2} - 4} \leq 3 - (5)$

Paso 6.4.3

$4.58257569$ del lado izquierdo es mayor que $- 2$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 6.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{13}{6}$ Verdadero

$x > \frac{13}{6}$ Falso

$x < - 2$ Verdadero

$- 2 < x < 2$ Falso

$2 < x < \frac{13}{6}$ Verdadero

$x > \frac{13}{6}$ Falso

Paso 7

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - 2$ o $2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Paso 8

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - 2 or 2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \frac{13}{6}]$

Paso 9