Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (4 x^{2} + 7) - \log_{2} (2 x + 5) = 3$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x^{2} + 7}{2 x + 5}) = 3$

Paso 2

Reescribe $\log_{2} (\frac{4 x^{2} + 7}{2 x + 5}) = 3$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{4 x^{2} + 7}{2 x + 5}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$4 x^{2} + 7 = 2^{3} (2 x + 5)$

Paso 4

Simplifica $2^{3} (2 x + 5)$ .

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Paso 4.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$4 x^{2} + 7 = 8 (2 x + 5)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 7 = 8 (2 x) + 8 \cdot 5$

Paso 4.3

Multiplica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $8$ .

$4 x^{2} + 7 = 16 x + 8 \cdot 5$

Paso 4.3.2

Multiplica $8$ por $5$ .

$4 x^{2} + 7 = 16 x + 40$

Paso 5

Resta $16 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} + 7 - 16 x = 40$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Reordena los términos.

$4 x^{2} - 16 x + 7 = 40$

Paso 6.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 6.2.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 7 = 40$

Paso 6.2.2

Reescribe $- 16$ como $- 2$ más $- 14$

$4 x^{2} + (- 2 - 14) x + 7 = 40$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 2 x - 14 x + 7 = 40$

Paso 6.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} - 2 x) - 14 x + 7 = 40$

Paso 6.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (2 x - 1) - 7 (2 x - 1) = 40$

Paso 6.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (2 x - 7) = 40$

Paso 7

Simplifica $(2 x - 1) (2 x - 7)$ .

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Paso 7.1

Expande $(2 x - 1) (2 x - 7)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x - 7) - 1 (2 x - 7) = 40$

Paso 7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x - 7) = 40$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Paso 7.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Paso 7.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Paso 7.2.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 7$ por $2$ .

$4 x^{2} - 14 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 x^{2} - 14 x - 2 x - 1 \cdot - 7 = 40$

Paso 7.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$4 x^{2} - 14 x - 2 x + 7 = 40$

Paso 7.2.2

Resta $2 x$ de $- 14 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 7 = 40$

Paso 8

Resta $40$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 16 x + 7 - 40 = 0$

Paso 9

Resta $40$ de $7$ .

$4 x^{2} - 16 x - 33 = 0$

Paso 10

Factoriza por agrupación.

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Paso 10.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 33 = - 132$ y cuya suma es $b = - 16$ .

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Paso 10.1.1

Factoriza $- 16$ de $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 16 x - 33 = 0$

Paso 10.1.2

Reescribe $- 16$ como $6$ más $- 22$

$4 x^{2} + (6 - 22) x - 33 = 0$

Paso 10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 6 x - 22 x - 33 = 0$

Paso 10.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 10.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} + 6 x) - 22 x - 33 = 0$

Paso 10.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 x (2 x + 3) - 11 (2 x + 3) = 0$

Paso 10.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 11) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 11 = 0$

Paso 12

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $2 x + 3$ igual a $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $2 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 12.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 3$

Paso 12.2.2

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ y simplifica.

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Paso 12.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 12.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 12.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Paso 12.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Paso 12.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 12.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{2}$

Paso 13

Establece $2 x - 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $2 x - 11$ igual a $0$ .

$2 x - 11 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $2 x - 11 = 0$ en $x$ .

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Paso 13.2.1

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$2 x = 11$

Paso 13.2.2

Divide cada término en $2 x = 11$ por $2$ y simplifica.

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Paso 13.2.2.1

Divide cada término en $2 x = 11$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Paso 13.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 13.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 13.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Paso 13.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{11}{2}$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 3) (2 x - 11) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{11}{2}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{3}{2}, \frac{11}{2}$

Forma decimal:

$x = - 1.5, 5.5$

Forma de número mixto:

$x = - 1 \frac{1}{2}, 5 \frac{1}{2}$