Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} = \frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} = \frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ .

$\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} = \frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$

Paso 2

Multiplica ambos lados por $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

$\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2)) = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.1

Simplifica $\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común de $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

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Paso 3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{A x^{2} + B x + C}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2)) = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$A x^{2} + B x + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.1.1.2

Simplifica con la conmutatividad.

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Paso 3.1.1.2.1

Reordena $A$ y $x^{2}$ .

$x^{2} A + B x + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.1.1.2.2

Reordena $B$ y $x$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.1

Simplifica $(\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$ .

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Paso 3.2.1.1

Para escribir $\frac{3 x - 5}{4 x + 3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{7 x - 2}{7 x - 2}$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} \cdot \frac{7 x - 2}{7 x - 2} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.2

Para escribir $\frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} \cdot \frac{7 x - 2}{7 x - 2} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} \cdot \frac{4 x + 3}{4 x + 3}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(4 x + 3) (7 x - 2)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 3.2.1.3.1

Multiplica $\frac{3 x - 5}{4 x + 3}$ por $\frac{7 x - 2}{7 x - 2}$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} \cdot \frac{4 x + 3}{4 x + 3}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.3.2

Multiplica $\frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ por $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(7 x - 2) (4 x + 3)}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.3.3

Reordena los factores de $(7 x - 2) (4 x + 3)$ .

$x^{2} A + x B + C = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x^{2} A + x B + C = \frac{(3 x - 5) (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.1.5.1

Expande $(3 x - 5) (7 x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 x (7 x - 2) - 5 (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 x (7 x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 x (7 x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.5.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 \cdot 7 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.2.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.5.2.1.2.1

Mueve $x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 \cdot 7 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.2.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{3 \cdot 7 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.2.1.3

Multiplica $3$ por $7$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 6 x - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.2.1.5

Multiplica $7$ por $- 5$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 6 x - 35 x - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.2.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 2$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 6 x - 35 x + 10 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.2.2

Resta $35 x$ de $- 6 x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.3

Expande $(- 2 x + 1) (4 x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.5.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x + 3) + 1 (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.5.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.5.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.2.1.5.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.4.1.4

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.4.1.5

Multiplica $4 x$ por $1$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 4 x + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.4.1.6

Multiplica $3$ por $1$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 4 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.4.2

Suma $- 6 x$ y $4 x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 2 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.5

Resta $8 x^{2}$ de $21 x^{2}$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{13 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.6

Resta $2 x$ de $- 41 x$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{13 x^{2} - 43 x + 10 + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.5.7

Suma $10$ y $3$ .

$x^{2} A + x B + C = \frac{13 x^{2} - 43 x + 13}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Cancela el factor común.

$x^{2} A + x B + C = \frac{13 x^{2} - 43 x + 13}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Paso 3.2.1.6.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} A + x B + C = 13 x^{2} - 43 x + 13$

Paso 4

Mueve todos los términos que no contengan $C$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.1

Resta $x^{2} A$ de ambos lados de la ecuación.

$x B + C = 13 x^{2} - 43 x + 13 - x^{2} A$

Paso 4.2

Resta $x B$ de ambos lados de la ecuación.

$C = 13 x^{2} - 43 x + 13 - x^{2} A - x B$