Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x - 18} - \frac{x + 2}{x - 6}$

Paso 1

Factoriza $x^{2} - 3 x - 18$ con el método AC.

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Paso 1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 18$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 6, 3$

Paso 1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{x + 2}{x - 6}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{x + 2}{x - 6}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{x + 2}{x - 6} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{x + 2}{x - 6}$ por $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x^{2} - 1 - (x + 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 1 + (- x - 1 \cdot 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 + (- x - 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.3

Expande $(- x - 2) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x (x + 3) - 2 (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.4.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - (x \cdot x) - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.4.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.4.1.2

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 3 x - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 3 x - 2 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.4.2

Resta $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 5 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.5

Resta $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 - 5 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.6

Resta $6$ de $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.7

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.7.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 4.7.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.7.1.2

Reescribe $- 5$ como $2$ más $- 7$

$\frac{2 x^{2} + (2 - 7) x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 7 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.7.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.7.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x) - 7 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.7.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{2 x (x + 1) - 7 (x + 1)}{(x - 6) (x + 3)}$

Paso 4.7.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7)}{(x - 6) (x + 3)}$