Álgebra Ejemplos

$f (x) < {(x - 1)}^{2} - 1$

Paso 1

Resuelve $y$

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Paso 1.1

Simplifica ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

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Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.1

Reescribe ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) < (x - 1) (x - 1) - 1$

Paso 1.1.1.2

Expande $(x - 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) < x (x - 1) - 1 (x - 1) - 1$

Paso 1.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 1$

Paso 1.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Paso 1.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) < x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Paso 1.1.1.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) < x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Paso 1.1.1.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x) < x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Paso 1.1.1.3.1.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f (x) < x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 1$

Paso 1.1.1.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) < x^{2} - x - x + 1 - 1$

Paso 1.1.1.3.2

Resta $x$ de $- x$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Paso 1.1.2

Combina los términos opuestos en $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Paso 1.1.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 0$

Paso 1.1.2.2

Suma $x^{2} - 2 x$ y $0$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x$

Paso 1.2

Resta $f (x)$ de ambos lados de la desigualdad.

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Paso 2

Obtén la pendiente y la intersección con y para la línea de límite.

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Paso 2.1

Reescribe en ecuación explícita.

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Paso 2.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.1.2

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$x^{2} - 2 x - f (x) > 0$

Paso 2.1.3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 2 x - f (x) = 0$

Paso 2.1.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.1.5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = - f (x)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- f (x)))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.6

Simplifica.

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Paso 2.1.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.1.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.6.1.3

Reescribe $4 + 4 f (x)$ como $2^{2} (1 + f (x))$ .

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Paso 2.1.6.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.6.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.6.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.6.1.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.6.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Paso 2.1.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Paso 2.1.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 2.1.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.7.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.1.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.7.1.3

Reescribe $4 + 4 f (x)$ como $2^{2} (1 + f (x))$ .

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Paso 2.1.7.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.7.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.7.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.7.1.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.7.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Paso 2.1.7.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Paso 2.1.7.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}$

Paso 2.1.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 2.1.8.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.8.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.8.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 2.1.8.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.8.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.8.1.3

Reescribe $4 + 4 f (x)$ como $2^{2} (1 + f (x))$ .

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Paso 2.1.8.1.3.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.8.1.3.2

Factoriza $4$ de $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.8.1.3.3

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.8.1.3.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.8.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Paso 2.1.8.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Paso 2.1.8.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Paso 2.1.9

Consolida las soluciones.

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}, 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Paso 2.2

La ecuación no es lineal, por lo que no existe pendiente constante.

No es lineal

Paso 3

Grafica una línea discontinua, luego sombrea el área debajo de la línea de límite, ya que $y$ es menor que $x^{2} - 2 x - f (x)$ .

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Paso 4