Álgebra Ejemplos

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

Paso 1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

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Paso 1.1.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

Paso 1.1.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

Paso 1.1.3

Reescribe el polinomio.

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

Paso 1.1.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{3}{x - 2}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{x - 2}$

Paso 2

Obtén el denominador común

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Paso 2.1

Multiplica $\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{x - 2}$

Paso 2.2

Multiplica $\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{x - 2}$

Paso 2.3

Multiplica $\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) + \frac{3}{x - 2}$

Paso 2.4

Multiplica $\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ por $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{3}{x - 2}$

Paso 2.5

Multiplica $\frac{3}{x - 2}$ por $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.6

Multiplica $\frac{3}{x - 2}$ por $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.7

Reordena los factores de $(x + 2) (x - 2) (x + 2)$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x + 2) (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.8

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.9

Eleva $x + 2$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 2.11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

Paso 3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(2 x + 1) (x - 2) - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Expande $(2 x + 1) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x (x - 2) + 1 (x - 2) - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 (x - 2) - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + x - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.2.2

Suma $- 4 x$ y $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot 2 + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 4.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 (x \cdot x) - 6 x \cdot 2 + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 6 x \cdot 2 + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.5

Multiplica $2$ por $- 6$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.6

Reescribe ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 ((x + 2) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.7

Expande $(x + 2) (x + 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x (x + 2) + 2 (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.8.1.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.8.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.8.2

Suma $2 x$ y $2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + 4 x + 4)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.9

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.10

Simplifica.

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Paso 4.10.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 4.10.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 12 x + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 5

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.1

Combina los términos opuestos en $2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 12 x + 12$ .

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Paso 5.1.1

Suma $- 12 x$ y $12 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 0 + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 5.1.2

Suma $2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} + 3 x^{2}$ y $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 5.2

Resta $6 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- 4 x^{2} - 3 x - 2 + 3 x^{2} + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 5.3

Suma $- 4 x^{2}$ y $3 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x - 2 + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 5.4

Suma $- 2$ y $12$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$\frac{- x^{2} - 3 (x) + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 6.1.2

Reescribe $- 3$ como $2$ más $- 5$

$\frac{- x^{2} + (2 - 5) x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} + 2 x - 5 x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} + 2 x) - 5 x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x + 2) + 5 (- x + 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x + 2$ .

$\frac{(- x + 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 7

Cancela el factor común de $- x + 2$ y $x - 2$ .

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Paso 7.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) + 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 7.2

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 7.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{- (x - 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 7.4

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 7.5

Cancela el factor común.

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

Paso 7.6

Reescribe la expresión.

$\frac{- 1 (x + 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

Paso 8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$