Álgebra Ejemplos

$\log_{3} (4 x^{2} - 7) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$

Paso 1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{4 x^{2} - 7}{3 x + 2}) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{3} (\frac{4 x^{2} - 7}{3 x + 2}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{4 x^{2} - 7}{3 x + 2}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$4 x^{2} - 7 = 3 (3 x + 2)$

Paso 4

Simplifica $3 (3 x + 2)$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} - 7 = 3 (3 x) + 3 \cdot 2$

Paso 4.2

Multiplica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$4 x^{2} - 7 = 9 x + 3 \cdot 2$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 x^{2} - 7 = 9 x + 6$

Paso 5

Resta $9 x$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 7 - 9 x = 6$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 9 x = 6 + 7$

Paso 6.2

Suma $6$ y $7$ .

$4 x^{2} - 9 x = 13$

Paso 7

Resta $13$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x^{2} - 9 x - 13 = 0$

Paso 8

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 13 = - 52$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$4 x^{2} - 9 x - 13 = 0$

Paso 8.1.2

Reescribe $- 9$ como $4$ más $- 13$

$4 x^{2} + (4 - 13) x - 13 = 0$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x^{2} + 4 x - 13 x - 13 = 0$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 x^{2} + 4 x) - 13 x - 13 = 0$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$4 x (x + 1) - 13 (x + 1) = 0$

Paso 8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 1$ .

$(x + 1) (4 x - 13) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

$4 x - 13 = 0$

Paso 10

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 11

Establece $4 x - 13$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $4 x - 13$ igual a $0$ .

$4 x - 13 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $4 x - 13 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Suma $13$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 13$

Paso 11.2.2

Divide cada término en $4 x = 13$ por $4$ y simplifica.

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Paso 11.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 13$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{13}{4}$

Paso 11.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 11.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 11.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{13}{4}$

Paso 11.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{13}{4}$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 1) (4 x - 13) = 0$ verdadera.

$x = - 1, \frac{13}{4}$

Paso 13

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{3} (4 x^{2} - 7) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$ sea verdadera.

$x = \frac{13}{4}$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{13}{4}$

Forma decimal:

$x = 3.25$

Forma de número mixto:

$x = 3 \frac{1}{4}$