Álgebra Ejemplos

$\frac{a^{3} + 1}{a^{4} - a^{3} + a - 1}$

Paso 1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{a^{3} + 1^{3}}{a^{4} - a^{3} + a - 1}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2})}{a^{4} - a^{3} + a - 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1^{2})}{a^{4} - a^{3} + a - 1}$

Paso 1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{a^{4} - a^{3} + a - 1}$

Paso 2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{(a^{4} - a^{3}) + a - 1}$

Paso 2.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{a^{3} (a - 1) + 1 (a - 1)}$

Paso 2.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $a - 1$ .

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{(a - 1) (a^{3} + 1)}$

Paso 2.3

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{(a - 1) (a^{3} + 1^{3})}$

Paso 2.4

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la suma de cubos, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , donde $a = a$ y $b = 1$ .

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{(a - 1) ((a + 1) (a^{2} - a \cdot 1 + 1^{2}))}$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{(a - 1) ((a + 1) (a^{2} - a + 1^{2}))}$

Paso 2.5.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{(a - 1) ((a + 1) (a^{2} - a + 1))}$

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{(a - 1) (a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $a + 1$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(a + 1) (a^{2} - a + 1)}{(a - 1) (a + 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{a^{2} - a + 1}{(a - 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $a^{2} - a + 1$ .

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{a^{2} - a + 1}{(a - 1) (a^{2} - a + 1)}$

Paso 3.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{a - 1}$