Álgebra Ejemplos

$f (x) < 3 {(x - 2)}^{2} - 5$

Paso 1

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1

Simplifica $3 {(x - 2)}^{2} - 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.1

Reescribe ${(x - 2)}^{2}$ como $(x - 2) (x - 2)$ .

$f (x) < 3 ((x - 2) (x - 2)) - 5$

Paso 1.1.1.2

Expande $(x - 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) < 3 (x (x - 2) - 2 (x - 2)) - 5$

Paso 1.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) < 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2)) - 5$

Paso 1.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) < 3 (x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Paso 1.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Paso 1.1.1.3.1.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2) - 5$

Paso 1.1.1.3.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 2 x - 2 x + 4) - 5$

Paso 1.1.1.3.2

Resta $2 x$ de $- 2 x$ .

$f (x) < 3 (x^{2} - 4 x + 4) - 5$

Paso 1.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x) < 3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.1.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.1.1.5.1

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 3 \cdot 4 - 5$

Paso 1.1.1.5.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 12 - 5$

Paso 1.1.2

Resta $5$ de $12$ .

$f (x) < 3 x^{2} - 12 x + 7$

Paso 1.2

Resta $f (x)$ de ambos lados de la desigualdad.

$0 < 3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$

Paso 2

Obtén la pendiente y la intersección con y para la línea de límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Reescribe en ecuación explícita.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

La ecuación explícita es $y = m x + b$ , donde $m$ es la pendiente y $b$ es la intersección con y.

$y = m x + b$

Paso 2.1.2

Reescribe para que $x$ quede en el lado izquierdo de la desigualdad.

$3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x) > 0$

Paso 2.1.3

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x) = 0$

Paso 2.1.4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.1.5

Sustituye los valores $a = 3$ , $b = - 12$ y $c = 7 - f (x)$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{12 \pm \sqrt{{(- 12)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot (7 - f (x)))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.6

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.6.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.6.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.6.1.4

Multiplica $- 12$ por $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.6.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.6.1.6

Resta $84$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.6.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Paso 2.1.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.7.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.7.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.7.1.4

Multiplica $- 12$ por $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.7.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.7.1.6

Resta $84$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.7.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Paso 2.1.7.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{12 + \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Paso 2.1.8

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.8.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.8.1.1

Eleva $- 12$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 3 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.8.1.2

Multiplica $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot (7 - f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 12 \cdot 7 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.8.1.4

Multiplica $- 12$ por $7$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 - 12 (- f (x))}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.8.1.5

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 84 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.8.1.6

Resta $84$ de $144$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{2 \cdot 3}$

Paso 2.1.8.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$x = \frac{12 \pm \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Paso 2.1.8.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{12 - \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Paso 2.1.9

Consolida las soluciones.

$x = \frac{12 + \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}, \frac{12 - \sqrt{60 + 12 f (x)}}{6}$

Paso 2.1.10

Ordena el polinomio para seguir la forma $y = m x + b$ de pendiente e intersección con y.

$3 x^{2} - 12 x = f (x) - 7$

Paso 2.2

La ecuación no es lineal, por lo que no existe pendiente constante.

No es lineal

Paso 3

Grafica una línea discontinua, luego sombrea el área debajo de la línea de límite, ya que $y$ es menor que $3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$ .

$0 < 3 x^{2} - 12 x + 7 - f (x)$

Paso 4