Álgebra Ejemplos

$\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 2}) = 1$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 2}) = 1$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x + 2)$

Paso 4

Simplifica $3 (3 x + 2)$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x) + 3 \cdot 2$

Paso 4.2

Multiplica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 3 \cdot 2$

Paso 4.2.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 6$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $9 x$ de ambos lados de la ecuación.

$(x + 2) (x - 2) - 9 x = 6$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Expande $(x + 2) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 2) + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Paso 5.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Paso 5.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Paso 5.2.2

Combina los términos opuestos en $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Paso 5.2.2.1

Reordena los factores en los términos $x \cdot - 2$ y $2 x$ .

$x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Paso 5.2.2.3

Suma $x \cdot x$ y $0$ .

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Paso 5.2.3.2

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$x^{2} - 4 - 9 x = 6$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 9 x = 6 + 4$

Paso 6.2

Suma $6$ y $4$ .

$x^{2} - 9 x = 10$

Paso 7

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 9 x - 10 = 0$

Paso 8

Factoriza $x^{2} - 9 x - 10$ con el método AC.

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Paso 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 10$ y cuya suma es $- 9$ .

$- 10, 1$

Paso 8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 10

Establece $x - 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $x - 10$ igual a $0$ .

$x - 10 = 0$

Paso 10.2

Suma $10$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 10$

Paso 11

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 11.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 10) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 10, - 1$

Paso 13

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$ sea verdadera.

$x = 10$