Álgebra Ejemplos

$9^{2 x - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{x^{2} - 4}$

Paso 1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{27}$ .

$9^{2 x - 4} \geq \frac{1^{x^{2} - 4}}{27^{x^{2} - 4}}$

Paso 2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$9^{2 x - 4} \geq \frac{1}{27^{x^{2} - 4}}$

Paso 3

Mueve $27^{x^{2} - 4}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$9^{2 x - 4} \geq 27^{- (x^{2} - 4)}$

Paso 4

Crea expresiones equivalentes en la ecuación que tengan bases iguales.

$3^{2 (2 x - 4)} \geq 3^{3 (- (x^{2} - 4))}$

Paso 5

Como las bases son las mismas, las dos expresiones solo son iguales si los exponentes también son iguales.

$2 (2 x - 4) \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Paso 6

Resuelve $x$

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Paso 6.1

Simplifica $2 (2 x - 4)$ .

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Paso 6.1.1

Reescribe.

$0 + 0 + 2 (2 x - 4) \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Paso 6.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$2 (2 x - 4) \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 4 \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Paso 6.1.4

Multiplica.

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Paso 6.1.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 4 \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Paso 6.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 4$ .

$4 x - 8 \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Paso 6.2

Simplifica $3 (- (x^{2} - 4))$ .

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 8 \geq 3 (- x^{2} - - 4)$

Paso 6.2.2

Multiplica $- 1$ por $- 4$ .

$4 x - 8 \geq 3 (- x^{2} + 4)$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 x - 8 \geq 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 4$

Paso 6.2.4

Multiplica.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$4 x - 8 \geq - 3 x^{2} + 3 \cdot 4$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$4 x - 8 \geq - 3 x^{2} + 12$

Paso 6.3

Suma $3 x^{2}$ a ambos lados de la desigualdad.

$4 x - 8 + 3 x^{2} \geq 12$

Paso 6.4

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$4 x - 8 + 3 x^{2} = 12$

Paso 6.5

Resta $12$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x - 8 + 3 x^{2} - 12 = 0$

Paso 6.6

Resta $12$ de $- 8$ .

$4 x + 3 x^{2} - 20 = 0$

Paso 6.7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.7.1

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$4 u + 3 u^{2} - 20 = 0$

Paso 6.7.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.7.2.1

Reordena los términos.

$3 u^{2} + 4 u - 20 = 0$

Paso 6.7.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 6.7.2.2.1

Factoriza $4$ de $4 u$ .

$3 u^{2} + 4 (u) - 20 = 0$

Paso 6.7.2.2.2

Reescribe $4$ como $- 6$ más $10$

$3 u^{2} + (- 6 + 10) u - 20 = 0$

Paso 6.7.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 u^{2} - 6 u + 10 u - 20 = 0$

Paso 6.7.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.7.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 u^{2} - 6 u) + 10 u - 20 = 0$

Paso 6.7.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$3 u (u - 2) + 10 (u - 2) = 0$

Paso 6.7.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $u - 2$ .

$(u - 2) (3 u + 10) = 0$

Paso 6.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x - 2) (3 x + 10) = 0$

Paso 6.8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x + 10 = 0$

Paso 6.9

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.9.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 6.9.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

Paso 6.10

Establece $3 x + 10$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.10.1

Establece $3 x + 10$ igual a $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Paso 6.10.2

Resuelve $3 x + 10 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.10.2.1

Resta $10$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 10$

Paso 6.10.2.2

Divide cada término en $3 x = - 10$ por $3$ y simplifica.

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Paso 6.10.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 10$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Paso 6.10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 6.10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Paso 6.10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Paso 6.10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.10.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{10}{3}$

Paso 6.11

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 2) (3 x + 10) = 0$ verdadera.

$x = 2, - \frac{10}{3}$

Paso 7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - \frac{10}{3}$

$- \frac{10}{3} < x < 2$

$x > 2$

Paso 8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - \frac{10}{3}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - \frac{10}{3}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$9^{2 (- 6) - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{{(- 6)}^{2} - 4}$

Paso 8.1.3

$5.39659527 E - 16$ del lado izquierdo es mayor que $1.57166342 E - 46$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.2

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{10}{3} < x < 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.2.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{10}{3} < x < 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 8.2.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$9^{2 (0) - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{{(0)}^{2} - 4}$

Paso 8.2.3

$0.00015241$ del lado izquierdo es menor que $531441$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 8.3.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$9^{2 (4) - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{{(4)}^{2} - 4}$

Paso 8.3.3

$6561$ del lado izquierdo es mayor que $6.6624633 E - 18$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - \frac{10}{3}$ Verdadero

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

$x < - \frac{10}{3}$ Verdadero

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Falso

$x > 2$ Verdadero

Paso 9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq - \frac{10}{3}$ o $x \geq 2$

Paso 10

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x \leq - \frac{10}{3} or x \geq 2$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - \frac{10}{3}] \cup [2, \infty)$

Paso 11