Álgebra Ejemplos

$\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}} = \sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}} = \sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}$ .

$\sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}} = \sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}$

Paso 2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}}}^{2} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Paso 3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}}$ como ${(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Simplifica ${({(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Paso 3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})}^{1} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Paso 3.2.1.2

Simplifica.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${\sqrt{\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}}}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.1

Reduce la expresión $\frac{126 x y^{5}}{32 x^{3}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $126 x y^{5}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{2 (63 x y^{5})}{32 x^{3}}}}^{2}$

Paso 3.3.1.1.2

Factoriza $2$ de $32 x^{3}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{2 (63 x y^{5})}{2 (16 x^{3})}}}^{2}$

Paso 3.3.1.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{2 (63 x y^{5})}{2 (16 x^{3})}}}^{2}$

Paso 3.3.1.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{63 x y^{5}}{16 x^{3}}}}^{2}$

Paso 3.3.1.2

Cancela el factor común de $x$ y $x^{3}$ .

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Paso 3.3.1.2.1

Factoriza $x$ de $63 x y^{5}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{x (63 y^{5})}{16 x^{3}}}}^{2}$

Paso 3.3.1.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.1.2.2.1

Factoriza $x$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{x (63 y^{5})}{x (16 x^{2})}}}^{2}$

Paso 3.3.1.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{x (63 y^{5})}{x (16 x^{2})}}}^{2}$

Paso 3.3.1.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}}}^{2}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe $\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}$ como ${(\frac{3 y^{2}}{4 x})}^{2} (7 y)$ .

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Paso 3.3.1.3.1

Factoriza la potencia perfecta ${(3 y^{2})}^{2}$ de $63 y^{5}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{{(3 y^{2})}^{2} \cdot (7 y)}{16 x^{2}}}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.2

Factoriza la potencia perfecta ${(4 x)}^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{\frac{{(3 y^{2})}^{2} \cdot (7 y)}{{(4 x)}^{2} \cdot 1}}}^{2}$

Paso 3.3.1.3.3

Reorganiza la fracción $\frac{{(3 y^{2})}^{2} \cdot (7 y)}{{(4 x)}^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {\sqrt{{(\frac{3 y^{2}}{4 x})}^{2} (7 y)}}^{2}$

Paso 3.3.1.4

Retira los términos de abajo del radical.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {(\frac{3 y^{2}}{4 x} \sqrt{7 y})}^{2}$

Paso 3.3.1.5

Combina $\frac{3 y^{2}}{4 x}$ y $\sqrt{7 y}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = {(\frac{3 y^{2} \sqrt{7 y}}{4 x})}^{2}$

Paso 3.3.1.6

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.3.1.6.1

Aplica la regla del producto a $\frac{3 y^{2} \sqrt{7 y}}{4 x}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{{(3 y^{2} \sqrt{7 y})}^{2}}{{(4 x)}^{2}}$

Paso 3.3.1.6.2

Aplica la regla del producto a $3 y^{2} \sqrt{7 y}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{{(3 y^{2})}^{2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{{(4 x)}^{2}}$

Paso 3.3.1.6.3

Aplica la regla del producto a $3 y^{2}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{3^{2} {(y^{2})}^{2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{{(4 x)}^{2}}$

Paso 3.3.1.6.4

Aplica la regla del producto a $4 x$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{3^{2} {(y^{2})}^{2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1.7.1

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 {(y^{2})}^{2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{2})}^{2}$ .

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Paso 3.3.1.7.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{2 \cdot 2} {\sqrt{7 y}}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {\sqrt{7 y}}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.3

Reescribe ${\sqrt{7 y}}^{2}$ como $7 y$ .

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Paso 3.3.1.7.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7 y}$ como ${(7 y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {({(7 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {(7 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {(7 y)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.1.7.3.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {(7 y)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.3.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} {(7 y)}^{1}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.3.5

Simplifica.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} (7 y)}{4^{2} x^{2}}$

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{9 y^{4} \cdot 7 y}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.4

Combina exponentes.

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Paso 3.3.1.7.4.1

Multiplica $7$ por $9$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 y^{4} y}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.4.2

Eleva $y$ a la potencia de $1$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 (y^{1} y^{4})}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 y^{1 + 4}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.7.4.4

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 y^{5}}{4^{2} x^{2}}$

Paso 3.3.1.8

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{63 y^{5}}{a x^{b}} = \frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}$

Paso 4

Resuelve $b$

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Paso 4.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (\frac{63 y^{5}}{a x^{b}}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.2

Expande el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

Reescribe $\ln (\frac{63 y^{5}}{a x^{b}})$ como $\ln (63 y^{5}) - \ln (a x^{b})$ .

$\ln (63 y^{5}) - \ln (a x^{b}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.2.2

Reescribe $\ln (63 y^{5})$ como $\ln (63) + \ln (y^{5})$ .

$\ln (63) + \ln (y^{5}) - \ln (a x^{b}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.2.3

Expande $\ln (y^{5})$ ; para ello, mueve $5$ fuera del logaritmo.

$\ln (63) + 5 \ln (y) - \ln (a x^{b}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.2.4

Reescribe $\ln (a x^{b})$ como $\ln (a) + \ln (x^{b})$ .

$\ln (63) + 5 \ln (y) - (\ln (a) + \ln (x^{b})) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.2.5

Expande $\ln (x^{b})$ ; para ello, mueve $b$ fuera del logaritmo.

$\ln (63) + 5 \ln (y) - (\ln (a) + b \ln (x)) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.3.1

Simplifica $\ln (63) + 5 \ln (y) - (\ln (a) + b \ln (x))$ .

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Paso 4.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (63) + 5 \ln (y) - \ln (a) - b \ln (x) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.3.1.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$5 \ln (y) + \ln (\frac{63}{a}) - b \ln (x) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.4.1

Mueve $\ln (\frac{63}{a})$ .

$5 \ln (y) - b \ln (x) + \ln (\frac{63}{a}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.4.2

Reordena $5 \ln (y)$ y $- b \ln (x)$ .

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63}{a}) = \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}})$

Paso 4.5

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63}{a}) - \ln (\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}) = 0$

Paso 4.6

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{\frac{63}{a}}{\frac{63 y^{5}}{16 x^{2}}}) = 0$

Paso 4.7

Simplifica cada término.

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Paso 4.7.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63}{a} \cdot \frac{16 x^{2}}{63 y^{5}}) = 0$

Paso 4.7.2

Combinar.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63 (16 x^{2})}{a (63 y^{5})}) = 0$

Paso 4.7.3

Cancela el factor común de $63$ .

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Paso 4.7.3.1

Cancela el factor común.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{63 (16 x^{2})}{a (63 y^{5})}) = 0$

Paso 4.7.3.2

Reescribe la expresión.

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{16 x^{2}}{a (y^{5})}) = 0$

$- b \ln (x) + 5 \ln (y) + \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}}) = 0$

Paso 4.8

Mueve todos los términos que no contengan $b$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 4.8.1

Resta $5 \ln (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$- b \ln (x) + \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}}) = - 5 \ln (y)$

Paso 4.8.2

Resta $\ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})$ de ambos lados de la ecuación.

$- b \ln (x) = - 5 \ln (y) - \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})$

Paso 4.9

Divide cada término en $- b \ln (x) = - 5 \ln (y) - \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})$ por $- \ln (x)$ y simplifica.

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Paso 4.9.1

Divide cada término en $- b \ln (x) = - 5 \ln (y) - \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})$ por $- \ln (x)$ .

$\frac{- b \ln (x)}{- \ln (x)} = \frac{- 5 \ln (y)}{- \ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Paso 4.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.9.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{b \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- 5 \ln (y)}{- \ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Paso 4.9.2.2

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 4.9.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{b \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- 5 \ln (y)}{- \ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Paso 4.9.2.2.2

Divide $b$ por $1$ .

$b = \frac{- 5 \ln (y)}{- \ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Paso 4.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.9.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.9.3.1.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$b = \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- \ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{- \ln (x)}$

Paso 4.9.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$b = \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{\ln (\frac{16 x^{2}}{a y^{5}})}{\ln (x)}$