Álgebra Ejemplos

$\log_{6} (3 x^{2} - 3) - \log_{6} (4 x + 4) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{3 x^{2} - 3}{4 x + 4}) = 0$

Paso 1.2

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2} - 3$ .

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Paso 1.2.1.1

Factoriza $3$ de $3 x^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{4 x + 4}) = 0$

Paso 1.2.1.2

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{4 x + 4}) = 0$

Paso 1.2.1.3

Factoriza $3$ de $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{4 x + 4}) = 0$

Paso 1.2.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{4 x + 4}) = 0$

Paso 1.2.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 x + 4}) = 0$

Paso 1.3

Simplifica los términos.

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Paso 1.3.1

Factoriza $4$ de $4 x + 4$ .

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Paso 1.3.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x) + 4}) = 0$

Paso 1.3.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x) + 4 (1)}) = 0$

Paso 1.3.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x) + 4 (1)$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x + 1)}) = 0$

Paso 1.3.2

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común.

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x + 1)}) = 0$

Paso 1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$\log_{6} (\frac{3 (x - 1)}{4}) = 0$

Paso 2

Reescribe $\log_{6} (\frac{3 (x - 1)}{4}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{3 (x - 1)}{4}$

Paso 3

Resuelve $x$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{3 (x - 1)}{4} = 6^{0}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{4} = 6^{0}$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4} = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Paso 3.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4} = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Paso 3.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3} (3 (x - 1)) = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{3} (3 (x - 1)) = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x - 1 = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica $\frac{4}{3} \cdot 6^{0}$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x - 1 = \frac{4}{3} \cdot 1$

Paso 3.3.2.1.2

Multiplica $\frac{4}{3}$ por $1$ .

$x - 1 = \frac{4}{3}$

Paso 3.4

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{4}{3} + 1$

Paso 3.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$x = \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Paso 3.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{4 + 3}{3}$

Paso 3.4.4

Suma $4$ y $3$ .

$x = \frac{7}{3}$

Paso 4

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{7}{3}$

Forma decimal:

$x = 2.\overline{3}$

Forma de número mixto:

$x = 2 \frac{1}{3}$