Álgebra Ejemplos

$x = 2 | y | + 1$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $2 | y | + 1 = x$ .

$2 | y | + 1 = x$

Paso 2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 | y | = x - 1$

Paso 3

Divide cada término en $2 | y | = x - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $2 | y | = x - 1$ por $2$ .

$\frac{2 | y |}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 | y |}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.2.1.2

Divide $| y |$ por $1$ .

$| y | = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$| y | = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 4

Elimina el término de valor absoluto. Esto crea un $\pm$ en el lado derecho de la ecuación debido a $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 6

Simplifica $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ .

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} - - \frac{1}{2}$

Paso 6.2

Multiplica $- - \frac{1}{2}$ .

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Paso 6.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Paso 6.2.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 7

Intercambia las variables. Crea una ecuación para cada expresión.

$x = \frac{y}{2} - \frac{1}{2}, x = - \frac{y}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 8

Resuelve cada ecuación para $y$ .

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Paso 8.1

Resuelve $y$

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Paso 8.1.1

Reescribe la ecuación como $\frac{y}{2} - \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{y}{2} - \frac{1}{2} = x$

Paso 8.1.2

Suma $\frac{1}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{2} = x + \frac{1}{2}$

Paso 8.1.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (x + \frac{1}{2})$

Paso 8.1.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.1.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.1.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 \frac{y}{2} = 2 (x + \frac{1}{2})$

Paso 8.1.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 (x + \frac{1}{2})$

Paso 8.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.1.4.2.1

Simplifica $2 (x + \frac{1}{2})$ .

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Paso 8.1.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 x + 2 (\frac{1}{2})$

Paso 8.1.4.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.1.4.2.1.2.1

Cancela el factor común.

$y = 2 x + 2 (\frac{1}{2})$

Paso 8.1.4.2.1.2.2

Reescribe la expresión.

$y = 2 x + 1$

Paso 8.2

Resuelve $y$

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Paso 8.2.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} = x$ .

$- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} = x$

Paso 8.2.2

Resta $\frac{1}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- \frac{y}{2} = x - \frac{1}{2}$

Paso 8.2.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 8.2.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 8.2.4.1.1

Simplifica $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

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Paso 8.2.4.1.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.4.1.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{y}{2}$ al numerador.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4.1.1.1.3

Cancela el factor común.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4.1.1.1.4

Reescribe la expresión.

$- - y = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4.1.1.2

Multiplica.

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Paso 8.2.4.1.1.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$1 y = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4.1.1.2.2

Multiplica $y$ por $1$ .

$y = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 8.2.4.2.1

Simplifica $- 2 (x - \frac{1}{2})$ .

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Paso 8.2.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - 2 x - 2 (- \frac{1}{2})$

Paso 8.2.4.2.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.4.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$y = - 2 x - 2 (\frac{- 1}{2})$

Paso 8.2.4.2.1.2.2

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$y = - 2 x + 2 (- 1) \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.4.2.1.2.3

Cancela el factor común.

$y = - 2 x + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2}$

Paso 8.2.4.2.1.2.4

Reescribe la expresión.

$y = - 2 x - - 1$

Paso 8.2.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$y = - 2 x + 1$

Paso 8.3

Enumera las ecuaciones.

$y = 2 x + 1, y = - 2 x + 1$

Paso 9

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$

Paso 10

Verifica si $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Paso 10.1

El dominio de la inversa es el rango de la función original y viceversa. Obtén el dominio y el rango de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ y $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ y compáralos.

Paso 10.2

Obtén el rango de $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Paso 10.2.1

El rango es el conjunto de todos los valores $y$ válidos. Usa la gráfica para obtener el rango.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Paso 10.3

Obtén el dominio de $2 x + 1$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 10.4

Obtén el dominio de $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

$(- \infty, \infty)$

Paso 10.5

Como el dominio de $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ es el rango de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ y el rango de $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ es el dominio de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ , entonces $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$

Paso 11