Álgebra Ejemplos

$\frac{x + 2}{x^{3} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Paso 1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.1

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{x + 2}{x^{3} - 1^{3}} - \frac{1}{x - 1}$

Paso 1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})} - \frac{1}{x - 1}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})} - \frac{1}{x - 1}$

Paso 1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{1}{x - 1}$

Paso 2

Para escribir $- \frac{1}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$

Paso 3

Simplifica los términos.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{x - 1}$ por $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1}$ .

$\frac{x + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{2} + x + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x + 2 - (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1 \cdot 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x + 2 - x^{2} - x - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 4.3

Resta $x$ de $x$ .

$\frac{2 - x^{2} + 0 - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 4.4

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{- x^{2} + 2 - 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 4.5

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{- x^{2} + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 4.6

Reescribe $- x^{2} + 1$ en forma factorizada.

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Paso 4.6.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 1^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 4.6.2

Reordena $- x^{2}$ y $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - x^{2}}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 4.6.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 1$ y $b = x$ .

$\frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $1 - x$ y $x - 1$ .

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Paso 5.1.1

Reescribe $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - x)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 5.1.2

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1) - (x))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 5.1.3

Factoriza $- 1$ de $- 1 (- 1) - (x)$ .

$\frac{(1 + x) (- 1 (- 1 + x))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 5.1.4

Reordena los términos.

$\frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 5.1.5

Cancela el factor común.

$\frac{(1 + x) (- 1 (x - 1))}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Paso 5.1.6

Reescribe la expresión.

$\frac{(1 + x) \cdot (- 1)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 5.2

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1

Mueve $- 1$ a la izquierda de $1 + x$ .

$\frac{- 1 \cdot (1 + x)}{x^{2} + x + 1}$

Paso 5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1 + x}{x^{2} + x + 1}$