Álgebra Ejemplos

$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4$ $\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1

Resuelve $x$ en $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4$ .

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Paso 1.1

Resta $\frac{1}{y}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{2}{x} = 4 - \frac{1}{y}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, 1, y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.2.2

Como $x, 1, y$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1, 1$ y, luego, obtén el MCM para la parte variable $x^{1}, y^{1}$ .

Como $x, 1, y$ contiene tanto números como variables, hay dos pasos para obtener el MCM. Obtén el MCM para la parte numérica $1, 1, 1$ y, luego, el MCM para la parte variable x,y.

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.2.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

$1$ Enumera los factores primos de cada número.

$2$ Multiplica cada factor la mayor cantidad de veces que aparece en cualquier número.

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.2.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.2.5

El MCM de $1, 1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.2.6

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x = x$

x occurs $1$ time.

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.2.7

El factor para $y^{1}$ es $y$ en sí mismo.

$y = y$

y ocurre $1$ vez.

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.2.8

El MCM de $x^{1}, y^{1}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.2.9

Multiplica $x$ por $y$ .

$x y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.3

Multiplica cada término en $\frac{2}{x} = 4 - \frac{1}{y}$ por $x y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{x} = 4 - \frac{1}{y}$ por $x y$ .

$\frac{2}{x} \cdot (x y) = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.3.2.1.1

Factoriza $x$ de $x y$ .

$\frac{2}{x} \cdot (x (y)) = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.3.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{2}{x} \cdot (x y) = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.3.2.1.3

Reescribe la expresión.

$2 y = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.3.3.1

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 1.3.3.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{y}$ al numerador.

$2 y = 4 x y + \frac{- 1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.3.3.1.2

Factoriza $y$ de $x y$ .

$2 y = 4 x y + \frac{- 1}{y} \cdot (y x)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.3.3.1.3

Cancela el factor común.

$2 y = 4 x y + \frac{- 1}{y} \cdot (y x)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.3.3.1.4

Reescribe la expresión.

$2 y = 4 x y - x$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 x y - x$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 x y - x$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 x y - x$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 1.4.1

Reescribe la ecuación como $4 x y - x = 2 y$ .

$4 x y - x = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.4.2

Factoriza $x$ de $4 x y - x$ .

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Paso 1.4.2.1

Factoriza $x$ de $4 x y$ .

$x (4 y) - x = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.4.2.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$x (4 y) + x \cdot - 1 = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.4.2.3

Factoriza $x$ de $x (4 y) + x \cdot - 1$ .

$x (4 y - 1) = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x (4 y - 1) = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.4.3

Divide cada término en $x (4 y - 1) = 2 y$ por $4 y - 1$ y simplifica.

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Paso 1.4.3.1

Divide cada término en $x (4 y - 1) = 2 y$ por $4 y - 1$ .

$\frac{x (4 y - 1)}{4 y - 1} = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.4.3.2.1

Cancela el factor común de $4 y - 1$ .

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Paso 1.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (4 y - 1)}{4 y - 1} = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 1.4.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Paso 2

Reemplaza todos los casos de $x$ por $\frac{2 y}{4 y - 1}$ en cada ecuación.

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Paso 2.1

Reemplaza todos los casos de $x$ en $\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$ por $\frac{2 y}{4 y - 1}$ .

$\frac{3}{\frac{2 y}{4 y - 1}} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Simplifica $\frac{3}{\frac{2 y}{4 y - 1}} + \frac{5}{y}$ .

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Paso 2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.1.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$3 (\frac{4 y - 1}{2 y}) + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.1.2

Combina $3$ y $\frac{4 y - 1}{2 y}$ .

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.2

Para escribir $\frac{5}{y}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5}{y} \cdot \frac{2}{2} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $2 y$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.2.1.3.1

Multiplica $\frac{5}{y}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5 \cdot 2}{y \cdot 2} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.3.2

Reordena los factores de $y \cdot 2$ .

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 (4 y - 1) + 5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (4 y) + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.5.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{12 y + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.5.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$\frac{12 y - 3 + 5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.5.4

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{12 y - 3 + 10}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 2.2.1.5.5

Suma $- 3$ y $10$ .

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$ en $\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$ .

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Paso 3.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y, 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.1.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.2

Multiplica cada término en $\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$ por $2 y$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.2.1

Multiplica cada término en $\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$ por $2 y$ .

$\frac{12 y + 7}{2 y} \cdot (2 y) = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 (\frac{12 y + 7}{2 y}) \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.2.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 y$ .

$2 (\frac{12 y + 7}{2 (y)}) \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$2 (\frac{12 y + 7}{2 y}) \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{12 y + 7}{y} \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{y} \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.2.2.3

Cancela el factor común de $y$ .

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Paso 3.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{12 y + 7}{y} \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$12 y + 7 = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$12 y + 7 = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$12 y + 7 = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$12 y + 7 = - 2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$12 y + 7 = - 2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$12 y + 7 = - 2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.3.1

Mueve todos los términos que contengan $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.3.1.1

Suma $2 y$ a ambos lados de la ecuación.

$12 y + 7 + 2 y = 0$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.1.2

Suma $12 y$ y $2 y$ .

$14 y + 7 = 0$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$14 y + 7 = 0$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$14 y = - 7$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $14 y = - 7$ por $14$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $14 y = - 7$ por $14$ .

$\frac{14 y}{14} = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $14$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{14 y}{14} = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Cancela el factor común de $- 7$ y $14$ .

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Paso 3.3.3.3.1.1

Factoriza $7$ de $- 7$ .

$y = \frac{7 (- 1)}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.3.1.2.1

Factoriza $7$ de $14$ .

$y = \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{- 1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = \frac{- 1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = \frac{- 1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 3.3.3.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $y$ por $- \frac{1}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 4.1

Reemplaza todos los casos de $y$ en $x = \frac{2 y}{4 y - 1}$ por $- \frac{1}{2}$ .

$x = \frac{2 (- \frac{1}{2})}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.1

Simplifica $\frac{2 (- \frac{1}{2})}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$ .

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Paso 4.2.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.1.1.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$x = \frac{- 2 (\frac{1}{2})}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.1.2

Combina $- 2$ y $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 4.2.1.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.1.2.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{4 (\frac{- 1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.1.2

Factoriza $2$ de $4$ .

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{2 (2) (\frac{- 1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.1.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.1.4

Reescribe la expresión.

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{2 \cdot - 1 - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{2 \cdot - 1 - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{- 2 - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.2.3

Resta $1$ de $- 2$ .

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{- 3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{- 3}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.2.1.3.1

Divide $- 2$ por $2$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.1.3.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

Paso 5

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(\frac{1}{3}, - \frac{1}{2})$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de punto:

$(\frac{1}{3}, - \frac{1}{2})$

Forma de la ecuación:

$x = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{2}$

Paso 7