Álgebra Ejemplos

${(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{\sqrt{2}}{5} i)}^{2}$

Paso 1

Simplifica los términos.

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Paso 1.1

Combina $i$ y $\frac{\sqrt{2}}{5}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})}^{2}$

Paso 1.2

Reescribe ${(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})}^{2}$ como $(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 2

Expande $(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3}}{5} (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5}$ .

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Paso 3.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{5}$ por $\frac{\sqrt{3}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.1.2

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.1.3

Eleva $\sqrt{3}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.1.6

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.2

Reescribe ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Paso 3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3^{1}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.3

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$ .

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Paso 3.1.3.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{5}$ por $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{3} (i \sqrt{2})}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.3.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.3.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.3.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.4

Multiplica $- \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5}$ .

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Paso 3.1.4.1

Multiplica $\frac{\sqrt{3}}{5}$ por $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{3} (i \sqrt{2})}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.4.2

Combina con la regla del producto para radicales.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.4.3

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.4.4

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Paso 3.1.5

Multiplica $- \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$ .

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Paso 3.1.5.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + 1 \frac{i \sqrt{2}}{5} \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.1.5.2

Multiplica $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ por $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Paso 3.1.5.3

Multiplica $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ por $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.5.4

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{1} i \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.5.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{1} i^{1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.5.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.5.7

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.5.8

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.5.9

Eleva $\sqrt{2}$ a la potencia de $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.5.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.5.11

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{5 \cdot 5}$

Paso 3.1.5.12

Multiplica $5$ por $5$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{25}$

Paso 3.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.6.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{25}$

Paso 3.1.6.2

Reescribe ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Paso 3.1.6.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

Paso 3.1.6.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

Paso 3.1.6.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{25}$

Paso 3.1.6.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.6.2.4.1

Cancela el factor común.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{25}$

Paso 3.1.6.2.4.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2^{1}}{25}$

Paso 3.1.6.2.5

Evalúa el exponente.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 1 \cdot 2}{25}$

Paso 3.1.7

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2}{25}$

Paso 3.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{2}{25}$

Paso 3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 - 2}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25}$

Paso 3.3

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{1}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25}$

Paso 3.4

Resta $\frac{\sqrt{6} i}{25}$ de $- \frac{\sqrt{6} i}{25}$ .

$\frac{1}{25} - 2 \frac{\sqrt{6} i}{25}$

Paso 4

Simplifica cada término.

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Paso 4.1

Combina $- 2$ y $\frac{\sqrt{6} i}{25}$ .

$\frac{1}{25} + \frac{- 2 (\sqrt{6} i)}{25}$

Paso 4.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{25} - \frac{2 \sqrt{6} i}{25}$