Álgebra Ejemplos

$\frac{3 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 4} + 3$

Paso 1

Mueve todas las expresiones al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Resta $\frac{x}{x + 4}$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} \leq 3$

Paso 1.2

Resta $3$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} - 3 \leq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} - 3$ .

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Paso 2.1

Para escribir $\frac{3 x}{x - 1}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4} - 3 \leq 0$

Paso 2.2

Para escribir $- \frac{x}{x + 4}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 3 \leq 0$

Paso 2.3

Escribe cada expresión con un denominador común de $(x - 1) (x + 4)$ , mediante la multiplicación de cada uno por un factor adecuado de $1$ .

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Paso 2.3.1

Multiplica $\frac{3 x}{x - 1}$ por $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{3 x (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} - \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 3 \leq 0$

Paso 2.3.2

Multiplica $\frac{x}{x + 4}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} - \frac{x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.3.3

Reordena los factores de $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{3 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{3 x (x + 4) - x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.1

Factoriza $x$ de $3 x (x + 4) - x (x - 1)$ .

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Paso 2.5.1.1

Factoriza $x$ de $3 x (x + 4)$ .

$\frac{x (3 (x + 4)) - x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.5.1.2

Factoriza $x$ de $- x (x - 1)$ .

$\frac{x (3 (x + 4)) + x (- (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.5.1.3

Factoriza $x$ de $x (3 (x + 4)) + x (- (x - 1))$ .

$\frac{x (3 (x + 4) - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x + 3 \cdot 4 - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.5.3

Multiplica $3$ por $4$ .

$\frac{x (3 x + 12 - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.5.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (3 x + 12 - x - - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.5.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x (3 x + 12 - x + 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.5.6

Resta $x$ de $3 x$ .

$\frac{x (2 x + 12 + 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.5.7

Suma $12$ y $1$ .

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Paso 2.6

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)}$ .

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \cdot \frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.7

Combina $- 3$ y $\frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)}$ .

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{- 3 ((x + 4) (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (2 x + 13) - 3 ((x + 4) (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 2.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 13 - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.3

Mueve $13$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{2 x \cdot x + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 13 x + (- 3 x - 3 \cdot 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.6

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x + (- 3 x - 12) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.7

Expande $(- 3 x - 12) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.9.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x (x - 1) - 12 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 12 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.8

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.9.8.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.9.8.1.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.9.8.1.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.8.1.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.8.1.2

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} + 3 x - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.8.1.3

Multiplica $- 12$ por $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} + 3 x - 12 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.8.2

Resta $12 x$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} - 9 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.9

Resta $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 13 x - 9 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.10

Resta $9 x$ de $13 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.11

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.9.11.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ y cuya suma es $b = 4$ .

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Paso 2.9.11.1.1

Factoriza $4$ de $4 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 (x) + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.11.1.2

Reescribe $4$ como $- 2$ más $6$

$\frac{- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 6 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.11.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.9.11.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.11.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x (- x - 2) - 6 (- x - 2)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.9.11.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.10

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.11

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.12

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.13

Reescribe $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 2.14

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 4

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 5

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 6$

Paso 6

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 7

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = - 2$

$x = 6$

$x = - 4$

$x = 1$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = - 2, 6, - 4, 1$

Paso 10

Obtén el dominio de $- \frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$(x + 4) (x - 1) = 0$

Paso 10.2

Resuelve $x$

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Paso 10.2.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 10.2.2

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.2.2.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 10.2.2.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 10.2.3

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.2.3.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 10.2.3.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 10.2.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 4) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - 4, 1$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 4$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 4$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (- 6)}{(- 6) - 1} \leq \frac{- 6}{(- 6) + 4} + 3$

Paso 12.1.3

$2.\overline{571428}$ del lado izquierdo es menor que $6$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 4 < x < - 2$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 3$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 3$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (- 3)}{(- 3) - 1} \leq \frac{- 3}{(- 3) + 4} + 3$

Paso 12.2.3

$2.25$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $- 2 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $0$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (0)}{(0) - 1} \leq \frac{0}{(0) + 4} + 3$

Paso 12.3.3

$0$ del lado izquierdo es menor que $3$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $1 < x < 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $1 < x < 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (4)}{(4) - 1} \leq \frac{4}{(4) + 4} + 3$

Paso 12.4.3

$4$ del lado izquierdo es mayor que $3.5$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.5

Prueba un valor en el intervalo $x > 6$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.5.1

Elije un valor en el intervalo $x > 6$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 12.5.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

$\frac{3 (8)}{(8) - 1} \leq \frac{8}{(8) + 4} + 3$

Paso 12.5.3

$3.\overline{428571}$ del lado izquierdo es menor que $3.\overline{6}$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.6

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

$x < - 4$ Verdadero

$- 4 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 1$ Verdadero

$1 < x < 6$ Falso

$x > 6$ Verdadero

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 4$ o $- 2 \leq x < 1$ o $x \geq 6$

Paso 14

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma de desigualdad:

$x < - 4 or - 2 \leq x < 1 or x \geq 6$

Notación de intervalo:

$(- \infty, - 4) \cup [- 2, 1) \cup [6, \infty)$

Paso 15