Álgebra Ejemplos

$\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1}) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1^{2}}) = \frac{1}{2}$

Paso 1.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$

Paso 2

Reescribe $\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$9 x + 5 = 16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4

Simplifica $16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$ .

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Paso 4.1

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.1.1

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

$9 x + 5 = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.3.1

Cancela el factor común.

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.1.3.2

Reescribe la expresión.

$9 x + 5 = 4^{1} ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.1.4

Evalúa el exponente.

$9 x + 5 = 4 ((x + 1) (x - 1))$

Paso 4.2

Expande $(x + 1) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x + 5 = 4 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Paso 4.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Paso 4.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x - 1)$

Paso 4.3.2

Suma $- x$ y $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + 0 - 1)$

Paso 4.3.3

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1)$

Paso 4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 4 \cdot - 1$

Paso 4.5

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} - 4$

Paso 5

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x + 5 - 4 x^{2} = - 4$

Paso 6

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 6.1

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$9 x - 4 x^{2} = - 4 - 5$

Paso 6.2

Resta $5$ de $- 4$ .

$9 x - 4 x^{2} = - 9$

Paso 7

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$9 x - 4 x^{2} + 9 = 0$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $- 1$ de $9 x - 4 x^{2} + 9$ .

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Paso 8.1.1

Reordena $9 x$ y $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 x + 9 = 0$

Paso 8.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 9 x + 9 = 0$

Paso 8.1.3

Factoriza $- 1$ de $9 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) + 9 = 0$

Paso 8.1.4

Reescribe $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Paso 8.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Paso 8.1.6

Factoriza $- 1$ de $- (4 x^{2} - 9 x) - 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Paso 8.2

Factoriza.

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Paso 8.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ y cuya suma es $b = - 9$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Factoriza $- 9$ de $- 9 x$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Paso 8.2.1.1.2

Reescribe $- 9$ como $3$ más $- 12$

$- (4 x^{2} + (3 - 12) x - 9) = 0$

Paso 8.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- (4 x^{2} + 3 x - 12 x - 9) = 0$

Paso 8.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- ((4 x^{2} + 3 x) - 12 x - 9) = 0$

Paso 8.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- (x (4 x + 3) - 3 (4 x + 3)) = 0$

Paso 8.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x - 3)) = 0$

Paso 8.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (4 x + 3) (x - 3) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Paso 10

Establece $4 x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $4 x + 3$ igual a $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $4 x + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 3$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $4 x = - 3$ por $4$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 3$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{3}{4}$

Paso 11

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 11.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 12

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (4 x + 3) (x - 3) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{3}{4}, 3$

Paso 13

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$ sea verdadera.

$x = 3$