Álgebra Ejemplos

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x} = 0$

Paso 1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ .

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Paso 1.1

Factoriza $e^{x}$ de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + x e^{x} - e^{x} = 0$

Paso 1.2

Factoriza $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x} = 0$

Paso 1.3

Factoriza $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Paso 1.4

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} x^{2} + e^{x} x$ .

$e^{x} (x^{2} + x) + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Paso 1.5

Factoriza $e^{x}$ de $e^{x} (x^{2} + x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$e^{x} (x^{2} + x - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

Paso 3

Establece $e^{x}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $e^{x}$ igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Paso 3.2

Resuelve $e^{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Paso 3.2.2

La ecuación no puede resolverse porque $\ln (0)$ es indefinida.

Indefinida

Paso 3.2.3

No hay soluciones para $e^{x} = 0$

No hay solución

Paso 4

Establece $x^{2} + x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2} + x - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + x - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} + x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Suma $1$ y $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $e^{x} (x^{2} + x - 1) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots$