Álgebra Ejemplos

$\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x^{2} - 6}{4 x + 1}) = 1$

Paso 1.2

Factoriza $2$ de $4 x^{2} - 6$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) - 6}{4 x + 1}) = 1$

Paso 1.2.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)}{4 x + 1}) = 1$

Paso 1.2.3

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$

Paso 2

Reescribe $\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x + 1)$

Paso 4

Simplifica $5 (4 x + 1)$ .

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Paso 4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x) + 5 \cdot 1$

Paso 4.2

Multiplica.

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Paso 4.2.1

Multiplica $4$ por $5$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5 \cdot 1$

Paso 4.2.2

Multiplica $5$ por $1$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5$

Paso 5

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 5.1

Resta $20 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 (2 x^{2} - 3) - 20 x = 5$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Paso 5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Paso 5.2.3

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 - 20 x = 5$

Paso 6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 6.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2} - 6 - 20 x$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $2$ de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 6 - 20 x = 5$

Paso 6.1.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) - 20 x = 5$

Paso 6.1.3

Factoriza $2$ de $- 20 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Paso 6.1.4

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Paso 6.1.5

Factoriza $2$ de $2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (2 x^{2} - 3 - 10 x) = 5$

Paso 6.2

Reordena los términos.

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$

Paso 7

Divide cada término en $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ por $2$ y simplifica.

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Paso 7.1

Divide cada término en $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ por $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 7.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Paso 7.2.1.2

Divide $2 x^{2} - 10 x - 3$ por $1$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{5}{2}$

Paso 8

Mueve todos los términos al lado izquierdo de la ecuación y simplifica.

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Paso 8.1

Resta $\frac{5}{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2} = 0$

Paso 8.2

Simplifica $2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2}$ .

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Paso 8.2.1

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Paso 8.2.2

Combina $- 3$ y $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Paso 8.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2 - 5}{2} = 0$

Paso 8.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 6 - 5}{2} = 0$

Paso 8.2.4.2

Resta $5$ de $- 6$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 11}{2} = 0$

Paso 8.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$2 x^{2} - 10 x - \frac{11}{2} = 0$

Paso 9

Multiplica por el mínimo común denominador $2$ , luego simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Paso 9.2

Simplifica.

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Paso 9.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Paso 9.2.2

Multiplica $- 10$ por $2$ .

$4 x^{2} - 20 x + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Paso 9.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 9.2.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{11}{2}$ al numerador.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Paso 9.2.3.2

Cancela el factor común.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Paso 9.2.3.3

Reescribe la expresión.

$4 x^{2} - 20 x - 11 = 0$

Paso 10

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 11

Sustituye los valores $a = 4$ , $b = - 20$ y $c = - 11$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Simplifica el numerador.

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Paso 12.1.1

Eleva $- 20$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Paso 12.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Paso 12.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $4$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Paso 12.1.2.2

Multiplica $- 16$ por $- 11$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2 \cdot 4}$

Paso 12.1.3

Suma $400$ y $176$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 4}$

Paso 12.1.4

Reescribe $576$ como $24^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 4}$

Paso 12.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{20 \pm 24}{2 \cdot 4}$

Paso 12.2

Multiplica $2$ por $4$ .

$x = \frac{20 \pm 24}{8}$

Paso 12.3

Simplifica $\frac{20 \pm 24}{8}$ .

$x = \frac{5 \pm 6}{2}$

Paso 13

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{11}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 14

Excluye las soluciones que no hagan que $\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$ sea verdadera.

$x = \frac{11}{2}$

Paso 15

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{11}{2}$

Forma decimal:

$x = 5.5$

Forma de número mixto:

$x = 5 \frac{1}{2}$