Álgebra Ejemplos

$f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$ como una ecuación.

$y = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}} = x$ .

${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}} = x$

Paso 3.2

Eleva cada lado de la ecuación a la potencia de $7$ para eliminar el exponente fraccionario en el lado izquierdo.

${({(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = x^{7}$

Paso 3.3

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Simplifica ${({(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 3.3.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(\frac{y + 2}{7})}^{1} = x^{7}$

Paso 3.3.1.2

Divide la fracción $\frac{y + 2}{7}$ en dos fracciones.

${(\frac{y}{7} + \frac{2}{7})}^{1} = x^{7}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica.

$\frac{y}{7} + \frac{2}{7} = x^{7}$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $\frac{2}{7}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{y}{7} = x^{7} - \frac{2}{7}$

Paso 3.4.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $7$ .

$7 \frac{y}{7} = 7 (x^{7} - \frac{2}{7})$

Paso 3.4.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.1.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.4.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$7 \frac{y}{7} = 7 (x^{7} - \frac{2}{7})$

Paso 3.4.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = 7 (x^{7} - \frac{2}{7})$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.2.1

Simplifica $7 (x^{7} - \frac{2}{7})$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 7 x^{7} + 7 (- \frac{2}{7})$

Paso 3.4.3.2.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.4.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{2}{7}$ al numerador.

$y = 7 x^{7} + 7 (\frac{- 2}{7})$

Paso 3.4.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = 7 x^{7} + 7 (\frac{- 2}{7})$

Paso 3.4.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = 7 x^{7} - 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 {({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 2$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica los exponentes en ${({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2$

Paso 5.2.3.1.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.3.1.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2$

Paso 5.2.3.1.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 (\frac{x + 2}{7}) - 2$

Paso 5.2.3.2

Simplifica.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 (\frac{x + 2}{7}) - 2$

Paso 5.2.3.3

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 (\frac{x + 2}{7}) - 2$

Paso 5.2.3.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = x + 2 - 2$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (7 x^{7} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{(7 x^{7} - 2) + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{7 x^{7} + 0}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.3.2

Suma $7 x^{7}$ y $0$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{7 x^{7}}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Cancela el factor común.

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{7 x^{7}}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.4.1.2

Divide $x^{7}$ por $1$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Paso 5.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 5.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 x^{7} - 2) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Paso 5.3.4.2.2

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 5.3.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$f (7 x^{7} - 2) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Paso 5.3.4.2.2.2

Reescribe la expresión.

$f (7 x^{7} - 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$