Álgebra Ejemplos

$y = {(\frac{1}{4})}^{x}$

Paso 1

Intercambia las variables.

$x = {(\frac{1}{4})}^{y}$

Paso 2

Resuelve $y$

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Paso 2.1

Reescribe la ecuación como ${(\frac{1}{4})}^{y} = x$ .

${(\frac{1}{4})}^{y} = x$

Paso 2.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln ({(\frac{1}{4})}^{y}) = \ln (x)$

Paso 2.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 2.3.1

Expande $\ln ({(\frac{1}{4})}^{y})$ ; para ello, mueve $y$ fuera del logaritmo.

$y \ln (\frac{1}{4}) = \ln (x)$

Paso 2.3.2

Reescribe $\ln (\frac{1}{4})$ como $\ln (1) - \ln (4)$ .

$y (\ln (1) - \ln (4)) = \ln (x)$

Paso 2.3.3

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$y (0 - \ln (4)) = \ln (x)$

Paso 2.3.4

Reescribe $\ln (4)$ como $\ln (2^{2})$ .

$y (0 - \ln (2^{2})) = \ln (x)$

Paso 2.3.5

Expande $\ln (2^{2})$ ; para ello, mueve $2$ fuera del logaritmo.

$y (0 - (2 \ln (2))) = \ln (x)$

Paso 2.3.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$y (0 - 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 2.3.7

Resta $2 \ln (2)$ de $0$ .

$y (- 2 \ln (2)) = \ln (x)$

Paso 2.4

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.1

Reordena los factores en $y (- 2 \ln (2))$ .

$- 2 y \ln (2) = \ln (x)$

Paso 2.5

Divide cada término en $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ por $- 2 \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 2.5.1

Divide cada término en $- 2 y \ln (2) = \ln (x)$ por $- 2 \ln (2)$ .

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 2.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.5.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 y \ln (2)}{- 2 \ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 2.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 2.5.2.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 2.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 2.5.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 2 \ln (2)}$

Paso 2.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.5.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Paso 3

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$

Paso 4

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

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Paso 4.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 4.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 4.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 4.2.2

Evalúa $f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln ({(\frac{1}{4})}^{x})}{2 \ln (2)}$

Paso 4.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1^{x}}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Paso 4.2.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{2 \ln (2)}$

Paso 4.2.4

Simplifica $2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (2^{2})}$

Paso 4.2.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{1}{4})}^{x}) = - \frac{\ln (\frac{1}{4^{x}})}{\ln (4)}$

Paso 4.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 4.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 4.3.2

Evalúa $f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}}$

Paso 4.3.3

Simplifica $2 \ln (2)$ al mover $2$ dentro del algoritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (2^{2})}}$

Paso 4.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.4.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = {(\frac{1}{4})}^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}$

Paso 4.3.4.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Paso 4.3.4.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \frac{\ln (x)}{\ln (4)}}}$

Paso 4.3.5

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.5.1

Usa la regla de cambio de base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{- \log_{4} (x)}}$

Paso 4.3.5.2

Simplifica $- \log_{4} (x)$ al mover $- 1$ dentro del algoritmo.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{4^{\log_{4} (x^{- 1})}}$

Paso 4.3.5.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{x^{- 1}}$

Paso 4.3.5.4

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 4.3.6

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = 1 x$

Paso 4.3.7

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (- \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}) = x$

Paso 4.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$ es la inversa de $f (x) = {(\frac{1}{4})}^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (x)}{2 \ln (2)}$