Álgebra Ejemplos

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0$

Paso 1

Multiplica cada término por un factor de $1$ que igualará todos los denominadores. En este caso, todos los términos necesitan un denominador de $4$ .

$\sin^{2} (x) \cdot \frac{4}{4} - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 2

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $4$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 4$

Paso 3

Mueve $4$ a la izquierda de $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4

Multiplica la expresión por un factor de $1$ para crear el mínimo común denominador (mcd) de $4$ .

$0 \cdot 4$

Paso 5

Multiplica $0$ por $4$ .

$\frac{4 \sin^{2} (x)}{4} - \frac{3}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Divide $4$ por $4$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 1 - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 6.2

Multiplica $\sin^{2} (x)$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7

Simplifica $0 \cdot \frac{4}{4}$ .

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Paso 7.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.1.1

Cancela el factor común.

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 7.1.2

Reescribe la expresión.

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0 \cdot 1$

Paso 7.2

Multiplica $0$ por $1$ .

$\sin^{2} (x) - \frac{3}{4} = 0$

Paso 8

Suma $\frac{3}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\sin^{2} (x) = \frac{3}{4}$

Paso 9

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{3}{4}}$

Paso 10

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{3}{4}}$ .

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Paso 10.1

Reescribe $\sqrt{\frac{3}{4}}$ como $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Paso 10.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Paso 10.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 11

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 11.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 13

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 13.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 13.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 13.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{\sqrt{3}}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 13.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{3}$

Paso 13.4

Simplifica $π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 13.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 13.4.2

Combina fracciones.

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Paso 13.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 13.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 13.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 13.4.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

Paso 13.4.3.2

Resta $π$ de $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 13.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 13.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 13.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 13.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 13.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 13.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 14

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

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Paso 14.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Paso 14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 14.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ es $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Paso 14.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Paso 14.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 14.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Paso 14.4.2

El ángulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 14.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 14.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 14.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 14.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{3}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{3} + 2 π$

Paso 14.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 14.6.3

Combina fracciones.

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Paso 14.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 14.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 14.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 14.6.4.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{6 π - π}{3}$

Paso 14.6.4.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{5 π}{3}$

Paso 14.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 14.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 15

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16

Consolida las soluciones.

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Paso 16.1

Consolida $\frac{π}{3} + 2 π n$ y $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 16.2

Consolida $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ y $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ en $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para cualquier número entero $n$