Álgebra Ejemplos

$\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} + x - 19) = 2$

Paso 1

Reescribe $\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} + x - 19) = 2$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

${(- 2 x - 3)}^{2} = 3 x^{2} + x - 19$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Como $x$ está en el lado derecho de la ecuación, cambia los lados para que quede en el lado izquierdo de la ecuación.

$3 x^{2} + x - 19 = {(- 2 x - 3)}^{2}$

Paso 2.2

Simplifica ${(- 2 x - 3)}^{2}$ .

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Paso 2.2.1

Reescribe.

$3 x^{2} + x - 19 = 0 + 0 + {(- 2 x - 3)}^{2}$

Paso 2.2.2

Reescribe ${(- 2 x - 3)}^{2}$ como $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ .

$3 x^{2} + x - 19 = (- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$

Paso 2.2.3

Expande $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3)$

Paso 2.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x - 3)$

Paso 2.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 2.2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.4.1.2.1

Mueve $x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 2.2.4.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 2.2.4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 2.2.4.1.4

Multiplica $- 3$ por $- 2$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Paso 2.2.4.1.5

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x + 6 x - 3 \cdot - 3$

Paso 2.2.4.1.6

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9$

Paso 2.2.4.2

Suma $6 x$ y $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 12 x + 9$

Paso 2.3

Mueve todos los términos que contengan $x$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.3.1

Resta $4 x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + x - 19 - 4 x^{2} = 12 x + 9$

Paso 2.3.2

Resta $12 x$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x^{2} + x - 19 - 4 x^{2} - 12 x = 9$

Paso 2.3.3

Resta $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$- x^{2} + x - 19 - 12 x = 9$

Paso 2.3.4

Resta $12 x$ de $x$ .

$- x^{2} - 11 x - 19 = 9$

Paso 2.4

Resta $9$ de ambos lados de la ecuación.

$- x^{2} - 11 x - 19 - 9 = 0$

Paso 2.5

Resta $9$ de $- 19$ .

$- x^{2} - 11 x - 28 = 0$

Paso 2.6

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.6.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2} - 11 x - 28$ .

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Paso 2.6.1.1

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 11 x - 28 = 0$

Paso 2.6.1.2

Factoriza $- 1$ de $- 11 x$ .

$- (x^{2}) - (11 x) - 28 = 0$

Paso 2.6.1.3

Reescribe $- 28$ como $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Paso 2.6.1.4

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (11 x)$ .

$- (x^{2} + 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Paso 2.6.1.5

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

Paso 2.6.2

Factoriza.

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Paso 2.6.2.1

Factoriza $x^{2} + 11 x + 28$ con el método AC.

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Paso 2.6.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $28$ y cuya suma es $11$ .

$4, 7$

Paso 2.6.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- ((x + 4) (x + 7)) = 0$

Paso 2.6.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- (x + 4) (x + 7) = 0$

Paso 2.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Paso 2.8

Establece $x + 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.8.1

Establece $x + 4$ igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Paso 2.8.2

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 4$

Paso 2.9

Establece $x + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.9.1

Establece $x + 7$ igual a $0$ .

$x + 7 = 0$

Paso 2.9.2

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 7$

Paso 2.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $- (x + 4) (x + 7) = 0$ verdadera.

$x = - 4, - 7$