Álgebra Ejemplos

$\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de la fracción por $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

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Paso 1.1

Multiplica $\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$ por $\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Paso 1.2

Combinar.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x - 1})}{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x^{2} - 1})}$

Paso 2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Paso 3

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 3.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Paso 3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Paso 3.2

Cancela el factor común de $x^{2} - 1$ .

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Paso 3.2.1

Factoriza $x^{2} - 1$ de $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Paso 3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Paso 3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1

Expande $(x - 1) (x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 4.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.2.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.3

Multiplica $x^{3} - x - x^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.4

Suma $- x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - x + 0 + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.5

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x^{3} - x + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.6

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{x^{3} - x + 0}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.7

Suma $x^{3} - x$ y $0$ .

$\frac{x^{3} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.8

Reescribe $x^{3} - x$ en forma factorizada.

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Paso 4.8.1

Factoriza $x$ de $x^{3} - x$ .

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Paso 4.8.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.8.1.2

Factoriza $x$ de $- x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.8.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.8.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 4.8.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5

Simplifica el denominador.

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Paso 5.1

Expande $(x - 1) (x^{2} - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 5.2.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.2.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.2.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.2.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.2.4

Reescribe $- 1 x^{2}$ como $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x - 1}$

Paso 5.3

Multiplica $x^{3} - x - x^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x - 1}$

Paso 5.4

Suma $- x$ y $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 + 0 - 1}$

Paso 5.5

Suma $x^{3}$ y $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 - 1}$

Paso 5.6

Resta $1$ de $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 0}$

Paso 5.7

Suma $x^{3} - x^{2}$ y $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2}}$

Paso 5.8

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3} - x^{2}$ .

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Paso 5.8.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x - x^{2}}$

Paso 5.8.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Paso 5.8.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} (x - 1)}$

Paso 6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 6.1

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $x$ de $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x^{2} (x - 1)}$

Paso 6.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Paso 6.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Paso 6.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Paso 6.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Paso 6.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x + 1}{x}$