Álgebra Ejemplos

$\frac{x}{x^{2} + 1} \leq 1$

Paso 1

Resta $1$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \leq 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x}{x^{2} + 1} - 1$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.2

Combina $- 1$ y $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.4.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{x - x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.4.3

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.5

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.6

Factoriza $- 1$ de $x$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.8

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1 (1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.9

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.10

Reescribe $- (x^{2} - x + 1)$ como $- 1 (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 2.11

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 4

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 5

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 7

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 8

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 9

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 10

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 11

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 11.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 11.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 12

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = i, - i$

Paso 13

No se puede determinar el coeficiente principal porque $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ no es un polinomio.

No es un polinomio

Paso 14

Como no hay intersecciones reales con x y el coeficiente principal es positivo, la parábola se abre hacia arriba y $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ siempre es mayor que $0$ .

No hay solución