Álgebra Ejemplos

$f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Paso 1

La función principal es la forma más simple del tipo de función dado.

$g (x) = x^{2}$

Paso 2

La transformación que se describe es de $g (x) = x^{2}$ a $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$g (x) = x^{2} \to f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Paso 3

Obtén la forma del vértice de $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

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Paso 3.1

Aísla $y$ al lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1.1

Para escribir $- {(x + 3)}^{2}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$y = - {(x + 3)}^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 3.1.2

Combina $- {(x + 3)}^{2}$ y $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

Paso 3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4 + 1}{4}$

Paso 3.1.4

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$y = \frac{- 4 {(x + 3)}^{2} + 1}{4}$

Paso 3.1.5

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$

Paso 3.2

Completa el cuadrado de $\frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$ .

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Paso 3.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.1

Reescribe ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 ((x + 3) (x + 3)) + 1)$

Paso 3.2.1.1.2

Expande $(x + 3) (x + 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.2.1.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 1)$

Paso 3.2.1.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 1)$

Paso 3.2.1.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Paso 3.2.1.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.2.1.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Paso 3.2.1.1.3.1.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

Paso 3.2.1.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 1)$

Paso 3.2.1.1.3.2

Suma $3 x$ y $3 x$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 6 x + 9) + 1)$

Paso 3.2.1.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot 9 + 1)$

Paso 3.2.1.1.5

Simplifica.

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Paso 3.2.1.1.5.1

Multiplica $6$ por $- 4$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot 9 + 1)$

Paso 3.2.1.1.5.2

Multiplica $- 4$ por $9$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 36 + 1)$

Paso 3.2.1.2

Suma $- 36$ y $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 35)$

Paso 3.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1}{4} (- 4 x^{2}) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Paso 3.2.1.4

Simplifica.

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Paso 3.2.1.4.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.4.1.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{2}$ .

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Paso 3.2.1.4.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Paso 3.2.1.4.1.3

Reescribe la expresión.

$- x^{2} + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Paso 3.2.1.4.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.2.1.4.2.1

Factoriza $4$ de $- 24 x$ .

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Paso 3.2.1.4.2.2

Cancela el factor común.

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Paso 3.2.1.4.2.3

Reescribe la expresión.

$- x^{2} - 6 x + \frac{1}{4} \cdot - 35$

Paso 3.2.1.4.3

Combina $\frac{1}{4}$ y $- 35$ .

$- x^{2} - 6 x + \frac{- 35}{4}$

Paso 3.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- x^{2} - 6 x - \frac{35}{4}$

Paso 3.2.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - \frac{35}{4}$

Paso 3.2.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 3.2.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 3.2.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.4.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 3.2.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

Paso 3.2.4.2.1.2

Mueve el negativo del denominador de $\frac{- 3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot - 3$

Paso 3.2.4.2.2

Reescribe $- 1 \cdot - 3$ como $- - 3$ .

$d = - - 3$

Paso 3.2.4.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$d = 3$

Paso 3.2.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 3.2.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.2.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.5.2.1.1

Eleva $- 6$ a la potencia de $2$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Paso 3.2.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{- 4}$

Paso 3.2.5.2.1.3

Divide $36$ por $- 4$ .

$e = - \frac{35}{4} - - 9$

Paso 3.2.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$e = - \frac{35}{4} + 9$

Paso 3.2.5.2.2

Para escribir $9$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$e = - \frac{35}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}$

Paso 3.2.5.2.3

Combina $9$ y $\frac{4}{4}$ .

$e = - \frac{35}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.5.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$e = \frac{- 35 + 9 \cdot 4}{4}$

Paso 3.2.5.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.5.2.5.1

Multiplica $9$ por $4$ .

$e = \frac{- 35 + 36}{4}$

Paso 3.2.5.2.5.2

Suma $- 35$ y $36$ .

$e = \frac{1}{4}$

Paso 3.2.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ .

$- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Paso 3.3

Establece $y$ igual al nuevo lado derecho.

$y = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

Paso 4

El cambio horizontal depende del valor de $h$ . Este se describe de la siguiente manera:

$f (x) = f (x + h)$ : La gráfica se desplaza hacia la izquierda $h$ unidades.

$f (x) = f (x - h)$ : La gráfica se desplaza hacia la derecha $h$ unidades.

Desplazamiento horizontal: unidades $3$ a la izquierda

Paso 5

El desplazamiento vertical depende del valor de $k$ . Este se describe de la siguiente manera:

$f (x) = f (x) + k$ : La gráfica se desplaza hacia arriba $k$ unidades.

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

Desplazamiento vertical: arriba $0.25$ unidades

Paso 6

La gráfica se refleja en el eje x cuando $f (x) = - f (x)$ .

Reflejo en el eje x: se refleja

Paso 7

La gráfica se refleja en el eje y cuando $f (x) = f (- x)$ .

Reflejo en el eje y: ninguno

Paso 8

Comprimir y estirar depende del valor de $a$ .

Cuando $a$ es mayor que $1$ : expandido verticalmente

Cuando $a$ está entre $0$ y $1$ : comprimido verticalmente

Compresión o expansión vertical: ninguna

Paso 9

Compara y enumera las transformaciones.

Función principal: $g (x) = x^{2}$

Desplazamiento horizontal: unidades $3$ a la izquierda

Desplazamiento vertical: arriba $0.25$ unidades

Reflejo en el eje x: se refleja

Reflejo en el eje y: ninguno

Compresión o expansión vertical: ninguna

Paso 10