Álgebra Ejemplos

$\frac{x^{2} {(y^{3})}^{4}}{x y^{5}} = x^{a} \cdot y^{b}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x^{2} {(y^{3})}^{4}}{x y^{5}}$ .

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x^{2} {(y^{3})}^{4}}{x y^{5}}$

Paso 2

Reduce la expresión $\frac{x^{2} {(y^{3})}^{4}}{x y^{5}}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{2} {(y^{3})}^{4}$ .

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x (x {(y^{3})}^{4})}{x y^{5}}$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $x y^{5}$ .

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x (x {(y^{3})}^{4})}{x (y^{5})}$

Paso 2.3

Cancela el factor común.

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x (x {(y^{3})}^{4})}{x y^{5}}$

Paso 2.4

Reescribe la expresión.

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}$

Paso 3

Divide cada término en $x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}$ por $y^{b}$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}$ por $y^{b}$ .

$\frac{x^{a} \cdot y^{b}}{y^{b}} = \frac{\frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}}{y^{b}}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $y^{b}$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{a} \cdot y^{b}}{y^{b}} = \frac{\frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}}{y^{b}}$

Paso 3.2.1.2

Divide $x^{a}$ por $1$ .

$x^{a} = \frac{\frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}}{y^{b}}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$x^{a} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{b}}$

Paso 3.3.2

Combinar.

$x^{a} = \frac{x {(y^{3})}^{4} \cdot 1}{y^{5} y^{b}}$

Paso 3.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x^{a} = \frac{x {(y^{3})}^{4} \cdot 1}{y^{5 + b}}$

Paso 3.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 3.3.4.1

Multiplica $x {(y^{3})}^{4}$ por $1$ .

$x^{a} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5 + b}}$

Paso 3.3.4.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{3})}^{4}$ .

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Paso 3.3.4.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{a} = \frac{x y^{3 \cdot 4}}{y^{5 + b}}$

Paso 3.3.4.2.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$x^{a} = \frac{x y^{12}}{y^{5 + b}}$

Paso 3.3.4.3

Cancela el factor común de $y^{12}$ y $y^{5 + b}$ .

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Paso 3.3.4.3.1

Factoriza $y^{5 + b}$ de $x y^{12}$ .

$x^{a} = \frac{y^{5 + b} (x y^{12 - (5 + b)})}{y^{5 + b}}$

Paso 3.3.4.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.4.3.2.1

Multiplica por $1$ .

$x^{a} = \frac{y^{5 + b} (x y^{12 - (5 + b)})}{y^{5 + b} \cdot 1}$

Paso 3.3.4.3.2.2

Cancela el factor común.

$x^{a} = \frac{y^{5 + b} (x y^{12 - (5 + b)})}{y^{5 + b} \cdot 1}$

Paso 3.3.4.3.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{a} = \frac{x y^{12 - (5 + b)}}{1}$

Paso 3.3.4.3.2.4

Divide $x y^{12 - (5 + b)}$ por $1$ .

$x^{a} = x y^{12 - (5 + b)}$

Paso 3.3.5

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{a} = x y^{12 - 1 \cdot 5 - b}$

Paso 3.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$x^{a} = x y^{12 - 5 - b}$

Paso 3.3.6

Resta $5$ de $12$ .

$x^{a} = x y^{7 - b}$

Paso 4

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (x^{a}) = \ln (x y^{7 - b})$

Paso 5

Expande $\ln (x^{a})$ ; para ello, mueve $a$ fuera del logaritmo.

$a \ln (x) = \ln (x y^{7 - b})$

Paso 6

Expande el lado derecho.

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Paso 6.1

Reescribe $\ln (x y^{7 - b})$ como $\ln (x) + \ln (y^{7 - b})$ .

$a \ln (x) = \ln (x) + \ln (y^{7 - b})$

Paso 6.2

Expande $\ln (y^{7 - b})$ ; para ello, mueve $7 - b$ fuera del logaritmo.

$a \ln (x) = \ln (x) + (7 - b) \ln (y)$

Paso 7

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$a \ln (x) = \ln (x) + 7 \ln (y) - b \ln (y)$

Paso 8

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$a \ln (x) - \ln (x) - 7 \ln (y) + b \ln (y) = 0$

Paso 9

Mueve todos los términos que no contengan $a$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 9.1

Suma $\ln (x)$ a ambos lados de la ecuación.

$a \ln (x) - 7 \ln (y) + b \ln (y) = \ln (x)$

Paso 9.2

Suma $7 \ln (y)$ a ambos lados de la ecuación.

$a \ln (x) + b \ln (y) = \ln (x) + 7 \ln (y)$

Paso 9.3

Resta $b \ln (y)$ de ambos lados de la ecuación.

$a \ln (x) = \ln (x) + 7 \ln (y) - b \ln (y)$

Paso 10

Divide cada término en $a \ln (x) = \ln (x) + 7 \ln (y) - b \ln (y)$ por $\ln (x)$ y simplifica.

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Paso 10.1

Divide cada término en $a \ln (x) = \ln (x) + 7 \ln (y) - b \ln (y)$ por $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Paso 10.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.1

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 10.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Paso 10.2.1.2

Divide $a$ por $1$ .

$a = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Paso 10.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.3.1.1

Cancela el factor común de $\ln (x)$ .

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Paso 10.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$a = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Paso 10.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$a = 1 + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Paso 10.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$a = 1 + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} - \frac{b \ln (y)}{\ln (x)}$