Álgebra Ejemplos

$x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 16 x - 12$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - x^{2} - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Paso 2

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - x^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Paso 2.2

Factoriza $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Paso 2.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Paso 3

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Paso 4

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Paso 5

Factoriza $4$ de $- 4 x^{3} + 16 x - 12$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Factoriza $4$ de $- 4 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 16 x - 12$

Paso 5.2

Factoriza $4$ de $16 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 4 (4 x) - 12$

Paso 5.3

Factoriza $4$ de $- 12$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 4 (4 x) + 4 (- 3)$

Paso 5.4

Factoriza $4$ de $4 (- x^{3}) + 4 (4 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3} + 4 x) + 4 (- 3)$

Paso 5.5

Factoriza $4$ de $4 (- x^{3} + 4 x) + 4 (- 3)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3} + 4 x - 3)$

Paso 6

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Factoriza $- x^{3} + 4 x - 3$ mediante la prueba de raíces racionales.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Paso 6.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 3$

Paso 6.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$- 1^{3} + 4 \cdot 1 - 3$

Paso 6.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 3$

Paso 6.1.3.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1 + 4 \cdot 1 - 3$

Paso 6.1.3.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$- 1 + 4 - 3$

Paso 6.1.3.5

Suma $- 1$ y $4$ .

$3 - 3$

Paso 6.1.3.6

Resta $3$ de $3$ .

$0$

Paso 6.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{- x^{3} + 4 x - 3}{x - 1}$

Paso 6.1.5

Divide $- x^{3} + 4 x - 3$ por $x - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

Paso 6.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$

Paso 6.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 6.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{3} + x^{2}$ .

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 6.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Paso 6.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$

Paso 6.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$

Paso 6.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Paso 6.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- x^{2} + x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Paso 6.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$

Paso 6.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Paso 6.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $3 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Paso 6.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Paso 6.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $3 x - 3$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Paso 6.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Paso 6.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$- x^{2} - x + 3$

Paso 6.1.6

Escribe $- x^{3} + 4 x - 3$ como un conjunto de factores.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 ((x - 1) (- x^{2} - x + 3))$

Paso 6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$

Paso 7

Factoriza $x - 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Factoriza $x - 1$ de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$

Paso 7.2

Factoriza $x - 1$ de $4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (- x^{2} - x + 3))$

Paso 7.3

Factoriza $x - 1$ de $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (- x^{2} - x + 3))$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Paso 8

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Paso 9

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Paso 9.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Paso 9.2

Suma $2$ y $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Paso 10

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Paso 11

Aplica la propiedad distributiva.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 (- x) + 4 \cdot 3)$

Paso 12

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot 3)$

Paso 12.2

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot 3)$

Paso 12.3

Multiplica $4$ por $3$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 12)$

Paso 13

Resta $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12)$

Paso 14

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Reescribe $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ en forma factorizada.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) ((x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12)$

Paso 14.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) (x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3))$

Paso 14.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 3$ .

$(x - 1) ((x - 3) (x^{2} - 4))$

Paso 14.1.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) ((x - 3) (x^{2} - 2^{2}))$

Paso 14.1.4

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 3) ((x + 2) (x - 2)))$

Paso 14.1.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) ((x - 3) (x + 2) (x - 2))$

Paso 14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 1) (x - 3) (x + 2) (x - 2)$