Álgebra Ejemplos

$\log_{2} (x^{2} + 2) - \log_{2} (3 x + 6) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.1

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 6}) = 0$

Paso 1.2

Factoriza $3$ de $3 x + 6$ .

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Paso 1.2.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x) + 6}) = 0$

Paso 1.2.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Paso 1.2.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$

Paso 2

Reescribe $\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b$ $\neq$ $1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}$

Paso 3

Aplica la multiplicación cruzada para eliminar la fracción.

$x^{2} + 2 = 2^{0} (3 (x + 2))$

Paso 4

Simplifica $2^{0} (3 (x + 2))$ .

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Paso 4.1

Simplifica la expresión.

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Paso 4.1.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$x^{2} + 2 = 1 (3 (x + 2))$

Paso 4.1.2

Multiplica $3 (x + 2)$ por $1$ .

$x^{2} + 2 = 3 (x + 2)$

Paso 4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} + 2 = 3 x + 3 \cdot 2$

Paso 4.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$x^{2} + 2 = 3 x + 6$

Paso 5

Resta $3 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} + 2 - 3 x = 6$

Paso 6

Factoriza $x^{2} + 2 - 3 x$ con el método AC.

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Paso 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 2, - 1$

Paso 6.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 2) (x - 1) = 6$

Paso 7

Simplifica $(x - 2) (x - 1)$ .

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Paso 7.1

Expande $(x - 2) (x - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 6$

Paso 7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 6$

Paso 7.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Paso 7.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Paso 7.2.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Paso 7.2.1.3

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 6$

Paso 7.2.2

Resta $2 x$ de $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 6$

Paso 8

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 3 x + 2 - 6 = 0$

Paso 9

Resta $6$ de $2$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Paso 10

Factoriza $x^{2} - 3 x - 4$ con el método AC.

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Paso 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 10.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 12

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 12.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 13

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 13.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 4) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 4, - 1$